x^8=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^8=1

Вы ввели

 8    
x  = 1

$$x^{8} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{8} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[8]{x^{8}} = \sqrt[8]{1}$$
$$\sqrt[8]{x^{8}} = \left(-1\right) \sqrt[8]{1}$$
или
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Получим ответ: x = 1
Получим ответ: x = -1
или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - i$$
$$z_{4} = i$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - i$$
$$x_{4} = i$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = -1

$$x_{1} = -1$$

x2 = 1

$$x_{2} = 1$$

x3 = -I

$$x_{3} = - i$$

x4 = I

$$x_{4} = i$$

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
x5 = - ----- - -------
         2        2   

$$x_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
x6 = - ----- + -------
         2        2   

$$x_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
x7 = ----- - -------
       2        2   

$$x_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
x8 = ----- + -------
       2        2   

$$x_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Численный ответ

x1 = -1.0*i

x2 = -1.0

x3 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i

x4 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i

x5 = 1.0

x6 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i

x7 = 1.0*i

x8 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i

График