x^8=17 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^8=17

Вы ввели

 8     
x  = 17

$$x^{8} = 17$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$x^{8} = 17$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = \sqrt[8]{17}$$
$$\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = \sqrt[8]{17} \left(-1\right)$$
или
$$x = \sqrt[8]{17}$$
$$x = - \sqrt[8]{17}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 17^1/8

Получим ответ: x = 17^(1/8)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -17^1/8

Получим ответ: x = -17^(1/8)
или
$$x_{1} = - \sqrt[8]{17}$$
$$x_{2} = \sqrt[8]{17}$$

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = 17$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = 17$$
где
$$r = \sqrt[8]{17}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[8]{17}$$
$$z_{2} = \sqrt[8]{17}$$
$$z_{3} = - \sqrt[8]{17} i$$
$$z_{4} = \sqrt[8]{17} i$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[8]{17}$$
$$x_{2} = \sqrt[8]{17}$$
$$x_{3} = - \sqrt[8]{17} i$$
$$x_{4} = \sqrt[8]{17} i$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{7} = \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{8} = \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

      8 ____
x1 = -\/ 17 

$$x_{1} = - \sqrt[8]{17}$$

     8 ____
x2 = \/ 17 

$$x_{2} = \sqrt[8]{17}$$

        8 ____
x3 = -I*\/ 17 

$$x_{3} = - \sqrt[8]{17} i$$

       8 ____
x4 = I*\/ 17 

$$x_{4} = \sqrt[8]{17} i$$

         ___ 8 ____       ___ 8 ____
       \/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17 
x5 = - ------------ - --------------
            2               2       

$$x_{5} = - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$

         ___ 8 ____       ___ 8 ____
       \/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17 
x6 = - ------------ + --------------
            2               2       

$$x_{6} = - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$

       ___ 8 ____       ___ 8 ____
     \/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17 
x7 = ------------ - --------------
          2               2       

$$x_{7} = \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$

       ___ 8 ____       ___ 8 ____
     \/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17 
x8 = ------------ + --------------
          2               2       

$$x_{8} = \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                ___ 8 ____       ___ 8 ____       ___ 8 ____       ___ 8 ____     ___ 8 ____       ___ 8 ____     ___ 8 ____       ___ 8 ____
    8 ____   8 ____     8 ____     8 ____     \/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17      \/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17    \/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17    \/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17 
0 - \/ 17  + \/ 17  - I*\/ 17  + I*\/ 17  + - ------------ - -------------- + - ------------ + -------------- + ------------ - -------------- + ------------ + --------------
                                                   2               2                 2               2               2               2               2               2       

$$\left(\left(\frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(- \sqrt[8]{17} + 0\right) + \sqrt[8]{17}\right) - \sqrt[8]{17} i\right) + \sqrt[8]{17} i\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                                    /    ___ 8 ____       ___ 8 ____\ /    ___ 8 ____       ___ 8 ____\ /  ___ 8 ____       ___ 8 ____\ /  ___ 8 ____       ___ 8 ____\
   8 ____ 8 ____    8 ____   8 ____ |  \/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17 | |  \/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17 | |\/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17 | |\/ 2 *\/ 17    I*\/ 2 *\/ 17 |
1*-\/ 17 *\/ 17 *-I*\/ 17 *I*\/ 17 *|- ------------ - --------------|*|- ------------ + --------------|*|------------ - --------------|*|------------ + --------------|
                                    \       2               2       / \       2               2       / \     2               2       / \     2               2       /

$$\sqrt[8]{17} i - \sqrt[8]{17} i \sqrt[8]{17} \cdot 1 \left(- \sqrt[8]{17}\right) \left(- \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt[8]{17} \sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

-17

$$-17$$

Численный ответ

x1 = 1.4249712926473*i

x2 = 1.00760686402707 - 1.00760686402707*i

x3 = 1.00760686402707 + 1.00760686402707*i

x4 = -1.4249712926473

x5 = -1.00760686402707 + 1.00760686402707*i

x6 = -1.00760686402707 - 1.00760686402707*i

x7 = 1.4249712926473

x8 = -1.4249712926473*i

График