x[x[x[x[x]]]] = 122 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: x[x[x[x[x]]]] = 122
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x x x x x = 122$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{122}$$
или
$$x = \sqrt[5]{122}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
x = 122^1/5
Получим ответ: x = 122^(1/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 122$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 122$$
где
$$r = \sqrt[5]{122}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[5]{122}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[5]{122}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$ $$x_{1} = \sqrt[5]{122}$$
___________
5 _____ ___ 5 _____ / ___
\/ 122 \/ 5 *\/ 122 5 _____ / 5 \/ 5
x2 = - ------- + ------------- - I*\/ 122 * / - + -----
4 4 \/ 8 8
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
___________
5 _____ ___ 5 _____ / ___
\/ 122 \/ 5 *\/ 122 5 _____ / 5 \/ 5
x3 = - ------- + ------------- + I*\/ 122 * / - + -----
4 4 \/ 8 8
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
___________
5 _____ ___ 5 _____ / ___
\/ 122 \/ 5 *\/ 122 5 _____ / 5 \/ 5
x4 = - ------- - ------------- - I*\/ 122 * / - - -----
4 4 \/ 8 8
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
___________
5 _____ ___ 5 _____ / ___
\/ 122 \/ 5 *\/ 122 5 _____ / 5 \/ 5
x5 = - ------- - ------------- + I*\/ 122 * / - - -----
4 4 \/ 8 8
$$x_{5} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
x1 = -2.11460673317206 - 1.53635172165599*i
x3 = 0.807707899232347 - 2.4858693043138*i
x4 = -2.11460673317206 + 1.53635172165599*i
x5 = 0.807707899232347 + 2.4858693043138*i