Решите уравнение x[x[x[x[x]]]] = 122 (х [ х [ х [ х [ х ]]]] равно 122) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ответ!]

x[x[x[x[x]]]] = 122 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x[x[x[x[x]]]] = 122

    Решение

    Вы ввели [src]
    x*x*x*x*x = 122
    $$x x x x x = 122$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x x x x x = 122$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{122}$$
    или
    $$x = \sqrt[5]{122}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 122^1/5

    Получим ответ: x = 122^(1/5)

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{5} = 122$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{5} e^{5 i p} = 122$$
    где
    $$r = \sqrt[5]{122}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{5 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = \sqrt[5]{122}$$
    $$z_{2} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$z_{4} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    $$z_{5} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = \sqrt[5]{122}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$x_{4} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    $$x_{5} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
         5 _____
    x1 = \/ 122 
    $$x_{1} = \sqrt[5]{122}$$
                                                    ___________
           5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ 
           \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  
    x2 = - ------- + ------------- - I*\/ 122 *  /   - + ----- 
              4            4                   \/    8     8   
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
                                                    ___________
           5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ 
           \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  
    x3 = - ------- + ------------- + I*\/ 122 *  /   - + ----- 
              4            4                   \/    8     8   
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
                                                    ___________
           5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ 
           \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  
    x4 = - ------- - ------------- - I*\/ 122 *  /   - - ----- 
              4            4                   \/    8     8   
    $$x_{4} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} - \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
                                                    ___________
           5 _____     ___ 5 _____                 /       ___ 
           \/ 122    \/ 5 *\/ 122      5 _____    /  5   \/ 5  
    x5 = - ------- - ------------- + I*\/ 122 *  /   - - ----- 
              4            4                   \/    8     8   
    $$x_{5} = - \frac{\sqrt[5]{122} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{122}}{4} + \sqrt[5]{122} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -2.11460673317206 - 1.53635172165599*i
    x2 = 2.61379766787943
    x3 = 0.807707899232347 - 2.4858693043138*i
    x4 = -2.11460673317206 + 1.53635172165599*i
    x5 = 0.807707899232347 + 2.4858693043138*i
    График
    x[x[x[x[x]]]] = 122 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/7/8f/d462c87c4a98c88d351b053817057.png