z+1/z=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: z+1/z=1

Вы ввели

      1    
z + 1*- = 1
      z    

$$z + 1 \cdot \frac{1}{z} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$z + 1 \cdot \frac{1}{z} = 1$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
и z
получим:
$$z \left(z + 1 \cdot \frac{1}{z}\right) = 1 z$$
$$z^{2} + 1 = z$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$z^{2} + 1 = z$$
в
$$z^{2} - z + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (1) = -3

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

             ___
     1   I*\/ 3 
z1 = - - -------
     2      2   

$$z_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
z2 = - + -------
     2      2   

$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ___           ___
    1   I*\/ 3    1   I*\/ 3 
0 + - - ------- + - + -------
    2      2      2      2   

$$\left(0 + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

произведение

  /        ___\ /        ___\
  |1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 |
1*|- - -------|*|- + -------|
  \2      2   / \2      2   /

$$1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

Численный ответ

z1 = 0.5 - 0.866025403784439*i

z2 = 0.5 + 0.866025403784439*i

График