z^4-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4-1=0

Вы ввели

 4        
z  - 1 = 0

$$z^{4} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} - 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 z + 0\right)^{4}} = 1$$
$$\sqrt[4]{\left(1 z + 0\right)^{4}} = -1$$
или
$$z = 1$$
$$z = -1$$
Получим ответ: z = 1
Получим ответ: z = -1
или
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
$$w_{3} = - i$$
$$w_{4} = i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - i$$
$$z_{4} = i$$

Быстрый ответ

z1 = -1

$$z_{1} = -1$$

z2 = 1

$$z_{2} = 1$$

z3 = -I

$$z_{3} = - i$$

z4 = I

$$z_{4} = i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 1 + 1 - I + I

$$\left(\left(\left(-1 + 0\right) + 1\right) - i\right) + i$$

=

0

$$0$$

произведение

1*-1*1*-I*I

$$i - i 1 \left(-1\right) 1$$

=

-1

$$-1$$

Численный ответ

z1 = 1.0

z2 = -1.0*i

z3 = 1.0*i

z4 = -1.0

График