z^4+16i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4+16i=0

Вы ввели

 4           
z  + 16*I = 0

$$z^{4} + 16 i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} + 16 i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -16*i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = - 16 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = - 16 i$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} - \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$w_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Быстрый ответ

              ___________            ___________
             /       ___            /       ___ 
            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  
z1 = - 2*  /   - - -----  - 2*I*  /   - + ----- 
         \/    2     4          \/    2     4   

$$z_{1} = - 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

            ___________            ___________
           /       ___            /       ___ 
          /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  
z2 = 2*  /   - - -----  + 2*I*  /   - + ----- 
       \/    2     4          \/    2     4   

$$z_{2} = 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

              ___________            ___________
             /       ___            /       ___ 
            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  
z3 = - 2*  /   - + -----  + 2*I*  /   - - ----- 
         \/    2     4          \/    2     4   

$$z_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

            ___________            ___________
           /       ___            /       ___ 
          /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  
z4 = 2*  /   - + -----  - 2*I*  /   - - ----- 
       \/    2     4          \/    2     4   

$$z_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

         ___________            ___________          ___________            ___________            ___________            ___________          ___________            ___________
        /       ___            /       ___          /       ___            /       ___            /       ___            /       ___          /       ___            /       ___ 
       /  1   \/ 2            /  1   \/ 2          /  1   \/ 2            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2          /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  
- 2*  /   - - -----  - 2*I*  /   - + -----  + 2*  /   - - -----  + 2*I*  /   - + -----  + - 2*  /   - + -----  + 2*I*  /   - - -----  + 2*  /   - + -----  - 2*I*  /   - - ----- 
    \/    2     4          \/    2     4        \/    2     4          \/    2     4          \/    2     4          \/    2     4        \/    2     4          \/    2     4   

$$\left(2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) + \left(\left(\left(- 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) + \left(2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)\right) + \left(- 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

/         ___________            ___________\ /       ___________            ___________\ /         ___________            ___________\ /       ___________            ___________\
|        /       ___            /       ___ | |      /       ___            /       ___ | |        /       ___            /       ___ | |      /       ___            /       ___ |
|       /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  | |     /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  | |       /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  | |     /  1   \/ 2            /  1   \/ 2  |
|- 2*  /   - - -----  - 2*I*  /   - + ----- |*|2*  /   - - -----  + 2*I*  /   - + ----- |*|- 2*  /   - + -----  + 2*I*  /   - - ----- |*|2*  /   - + -----  - 2*I*  /   - - ----- |
\    \/    2     4          \/    2     4   / \  \/    2     4          \/    2     4   / \    \/    2     4          \/    2     4   / \  \/    2     4          \/    2     4   /

$$\left(- 2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(2 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(- 2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) \left(2 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$

=

16*I

$$16 i$$

Численный ответ

z1 = 0.76536686473018 + 1.84775906502257*i

z2 = 1.84775906502257 - 0.76536686473018*i

z3 = -0.76536686473018 - 1.84775906502257*i

z4 = -1.84775906502257 + 0.76536686473018*i