Решение уравнений/ Любые/ z^4+i=0

z^4+i=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^4+i=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     4        
z  + I = 0
    z4+i=0z^{4} + i = 0
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    z4+i=0z^{4} + i = 0
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -i комплексное,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    w=zw = z
    тогда ур-ние будет таким:
    w4=−iw^{4} = - i
    Любое комплексное число можно представить так:
    w=reipw = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r4e4ip=−ir^{4} e^{4 i p} = - i
    где
    r=1r = 1
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e4ip=−ie^{4 i p} = - i
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin⁡(4p)+cos⁡(4p)=−ii \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = - i
    значит
    cos⁡(4p)=0\cos{\left(4 p \right)} = 0
    и
    sin⁡(4p)=−1\sin{\left(4 p \right)} = -1
    тогда
    p=πN2−π8p = \frac{\pi N}{2} - \frac{\pi}{8}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    w1=−12−24−i24+12w_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}
    w2=12−24+i24+12w_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}
    w3=−24+12+i12−24w_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}
    w4=24+12−i12−24w_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}
    делаем обратную замену
    w=zw = z
    z=wz = w

    Тогда, окончательный ответ:
    z1=−12−24−i24+12z_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}
    z2=12−24+i24+12z_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}
    z3=−24+12+i12−24z_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}
    z4=24+12−i12−24z_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}
    График
    Быстрый ответ [src]
                ___________          ___________
           /       ___          /       ___ 
          /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
z1 = -   /   - - -----  - I*  /   - + ----- 
       \/    2     4        \/    2     4
    z1=−12−24−i24+12z_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}
              ___________          ___________
         /       ___          /       ___ 
        /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
z2 =   /   - - -----  + I*  /   - + ----- 
     \/    2     4        \/    2     4
    z2=12−24+i24+12z_{2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}
                ___________          ___________
           /       ___          /       ___ 
          /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
z3 = -   /   - + -----  + I*  /   - - ----- 
       \/    2     4        \/    2     4
    z3=−24+12+i12−24z_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}
              ___________          ___________
         /       ___          /       ___ 
        /  1   \/ 2          /  1   \/ 2  
z4 =   /   - + -----  - I*  /   - - ----- 
     \/    2     4        \/    2     4
    z4=24+12−i12−24z_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}
    Численный ответ [src]
    z1 = 0.38268343236509 + 0.923879532511287*i
    z2 = -0.923879532511287 + 0.38268343236509*i
    z3 = -0.38268343236509 - 0.923879532511287*i
    z4 = 0.923879532511287 - 0.38268343236509*i