z^4+1 = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4+1 = 0

Вы ввели

 4        
z  + 1 = 0

$$z^{4} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z1 = - ----- - -------
         2        2   

$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z2 = - ----- + -------
         2        2   

$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z3 = ----- - -------
       2        2   

$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z4 = ----- + -------
       2        2   

$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Численный ответ

z1 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i

z2 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i

z3 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i

z4 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i

График