z^4+16=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4+16=0

Вы ввели

 4         
z  + 16 = 0

$$z^{4} + 16 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} + 16 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -16 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = -16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -16$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$w_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$w_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$w_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$z_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$

Быстрый ответ

         ___       ___
z1 = - \/ 2  - I*\/ 2 

$$z_{1} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$

         ___       ___
z2 = - \/ 2  + I*\/ 2 

$$z_{2} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$

       ___       ___
z3 = \/ 2  - I*\/ 2 

$$z_{3} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$

       ___       ___
z4 = \/ 2  + I*\/ 2 

$$z_{4} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

        ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
0 + - \/ 2  - I*\/ 2  + - \/ 2  + I*\/ 2  + \/ 2  - I*\/ 2  + \/ 2  + I*\/ 2 

$$\left(\left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) - 2 \sqrt{2}\right) + \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
1*\- \/ 2  - I*\/ 2 /*\- \/ 2  + I*\/ 2 /*\\/ 2  - I*\/ 2 /*\\/ 2  + I*\/ 2 /

$$1 \left(- \sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) \left(- \sqrt{2} + \sqrt{2} i\right) \left(\sqrt{2} - \sqrt{2} i\right) \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} i\right)$$

=

16

$$16$$

Численный ответ

z1 = -1.4142135623731 + 1.4142135623731*i

z2 = -1.4142135623731 - 1.4142135623731*i

z3 = 1.4142135623731 - 1.4142135623731*i

z4 = 1.4142135623731 + 1.4142135623731*i

График