z^4=-4 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4=-4

Вы ввели

 4     
z  = -4

$$z^{4} = -4$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} = -4$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -4 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = -4$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -4$$
где
$$r = \sqrt{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1 - i$$
$$w_{2} = -1 + i$$
$$w_{3} = 1 - i$$
$$w_{4} = 1 + i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1 - i$$
$$z_{2} = -1 + i$$
$$z_{3} = 1 - i$$
$$z_{4} = 1 + i$$

Быстрый ответ

z1 = -1 - I

$$z_{1} = -1 - i$$

z2 = -1 + I

$$z_{2} = -1 + i$$

z3 = 1 - I

$$z_{3} = 1 - i$$

z4 = 1 + I

$$z_{4} = 1 + i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 + -1 - I + -1 + I + 1 - I + 1 + I

$$\left(\left(1 - i\right) - 2\right) + \left(1 + i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

1*(-1 - I)*(-1 + I)*(1 - I)*(1 + I)

$$1 \left(-1 - i\right) \left(-1 + i\right) \left(1 - i\right) \left(1 + i\right)$$

=

4

$$4$$

Численный ответ

z1 = 1.0 - 1.0*i

z2 = -1.0 - 1.0*i

z3 = -1.0 + 1.0*i

z4 = 1.0 + 1.0*i

График