z^4=-1 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4=-1

Вы ввели

 4     
z  = -1

$$z^{4} = -1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} = -1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z1 = - ----- - -------
         2        2   

$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z2 = - ----- + -------
         2        2   

$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z3 = ----- - -------
       2        2   

$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z4 = ----- + -------
       2        2   

$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
      \/ 2    I*\/ 2      \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2 
0 + - ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
        2        2          2        2        2        2        2        2   

$$\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) - \sqrt{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
  |  \/ 2    I*\/ 2 | |  \/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 |
1*|- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------|
  \    2        2   / \    2        2   / \  2        2   / \  2        2   /

$$1 \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

Численный ответ

z1 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i

z2 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i

z3 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i

z4 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i

График