z^4=-1+i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4=-1+i

Вы ввели

 4         
z  = -1 + I

$$z^{4} = -1 + i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} = -1 + i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -1 + i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = -1 + i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -1 + i$$
где
$$r = \sqrt[8]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} - \frac{\pi}{16}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$
$$w_{2} = \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$
$$w_{3} = - \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$
$$w_{4} = \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$
$$z_{2} = \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$
$$z_{3} = - \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$
$$z_{4} = \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$

Быстрый ответ

       8 ___    /3*pi\     8 ___    /3*pi\
z1 = - \/ 2 *sin|----| + I*\/ 2 *cos|----|
                \ 16 /              \ 16 /

$$z_{1} = - \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$

     8 ___    /3*pi\     8 ___    /3*pi\
z2 = \/ 2 *sin|----| - I*\/ 2 *cos|----|
              \ 16 /              \ 16 /

$$z_{2} = \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$

       8 ___    /3*pi\     8 ___    /3*pi\
z3 = - \/ 2 *cos|----| - I*\/ 2 *sin|----|
                \ 16 /              \ 16 /

$$z_{3} = - \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$

     8 ___    /3*pi\     8 ___    /3*pi\
z4 = \/ 2 *cos|----| + I*\/ 2 *sin|----|
              \ 16 /              \ 16 /

$$z_{4} = \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{16} \right)}$$

Численный ответ

z1 = -0.605853635146515 + 0.906724041692109*i

z2 = 0.906724041692109 + 0.605853635146515*i

z3 = -0.906724041692109 - 0.605853635146515*i

z4 = 0.605853635146515 - 0.906724041692109*i