z^4=-81 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4=-81

Вы ввели

 4      
z  = -81

$$z^{4} = -81$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} = -81$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -81 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = -81$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -81$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

           ___         ___
       3*\/ 2    3*I*\/ 2 
z1 = - ------- - ---------
          2          2    

$$z_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$

           ___         ___
       3*\/ 2    3*I*\/ 2 
z2 = - ------- + ---------
          2          2    

$$z_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$

         ___         ___
     3*\/ 2    3*I*\/ 2 
z3 = ------- - ---------
        2          2    

$$z_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$

         ___         ___
     3*\/ 2    3*I*\/ 2 
z4 = ------- + ---------
        2          2    

$$z_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          ___         ___         ___         ___       ___         ___       ___         ___
      3*\/ 2    3*I*\/ 2      3*\/ 2    3*I*\/ 2    3*\/ 2    3*I*\/ 2    3*\/ 2    3*I*\/ 2 
0 + - ------- - --------- + - ------- + --------- + ------- - --------- + ------- + ---------
         2          2            2          2          2          2          2          2    

$$\left(\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) - 3 \sqrt{2}\right) + \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /      ___         ___\ /      ___         ___\ /    ___         ___\ /    ___         ___\
  |  3*\/ 2    3*I*\/ 2 | |  3*\/ 2    3*I*\/ 2 | |3*\/ 2    3*I*\/ 2 | |3*\/ 2    3*I*\/ 2 |
1*|- ------- - ---------|*|- ------- + ---------|*|------- - ---------|*|------- + ---------|
  \     2          2    / \     2          2    / \   2          2    / \   2          2    /

$$1 \left(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

81

$$81$$

Численный ответ

z1 = 2.12132034355964 - 2.12132034355964*i

z2 = 2.12132034355964 + 2.12132034355964*i

z3 = -2.12132034355964 + 2.12132034355964*i

z4 = -2.12132034355964 - 2.12132034355964*i

График