z^4=1-i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4=1-i

Вы ввели

 4        
z  = 1 - I

$$z^{4} = 1 - i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} = 1 - i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = 1 - i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = 1 - i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 1 - i$$
где
$$r = \sqrt[8]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = \frac{\sqrt{2} \cdot \left(1 - i\right)}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \cdot \left(1 - i\right)}{2}$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} - \frac{\pi}{16}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$
$$w_{2} = \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$
$$w_{3} = - \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$
$$w_{4} = \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$
$$z_{2} = \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$
$$z_{3} = - \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$
$$z_{4} = \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$

Быстрый ответ

       8 ___    /pi\     8 ___    /pi\
z1 = - \/ 2 *sin|--| - I*\/ 2 *cos|--|
                \16/              \16/

$$z_{1} = - \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$

     8 ___    /pi\     8 ___    /pi\
z2 = \/ 2 *sin|--| + I*\/ 2 *cos|--|
              \16/              \16/

$$z_{2} = \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$

       8 ___    /pi\     8 ___    /pi\
z3 = - \/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--|
                \16/              \16/

$$z_{3} = - \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$

     8 ___    /pi\     8 ___    /pi\
z4 = \/ 2 *cos|--| - I*\/ 2 *sin|--|
              \16/              \16/

$$z_{4} = \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

      8 ___    /pi\     8 ___    /pi\   8 ___    /pi\     8 ___    /pi\     8 ___    /pi\     8 ___    /pi\   8 ___    /pi\     8 ___    /pi\
0 + - \/ 2 *sin|--| - I*\/ 2 *cos|--| + \/ 2 *sin|--| + I*\/ 2 *cos|--| + - \/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--| + \/ 2 *cos|--| - I*\/ 2 *sin|--|
               \16/              \16/            \16/              \16/              \16/              \16/            \16/              \16/

$$\left(\sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)}\right) + \left(\left(\left(0 - \left(\sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)}\right)\right) + \left(\sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)}\right)\right) - \left(\sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)}\right)\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /  8 ___    /pi\     8 ___    /pi\\ /8 ___    /pi\     8 ___    /pi\\ /  8 ___    /pi\     8 ___    /pi\\ /8 ___    /pi\     8 ___    /pi\\
1*|- \/ 2 *sin|--| - I*\/ 2 *cos|--||*|\/ 2 *sin|--| + I*\/ 2 *cos|--||*|- \/ 2 *cos|--| + I*\/ 2 *sin|--||*|\/ 2 *cos|--| - I*\/ 2 *sin|--||
  \           \16/              \16// \         \16/              \16// \           \16/              \16// \         \16/              \16//

$$1 \left(- \sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)}\right) \left(\sqrt[8]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)}\right) \left(- \sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)} + \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)}\right) \left(\sqrt[8]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{16} \right)} - \sqrt[8]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{16} \right)}\right)$$

=

        -pi*I 
        ------
   ___    4   
-\/ 2 *e      

$$- \sqrt{2} e^{- \frac{i \pi}{4}}$$

Численный ответ

z1 = 0.212747504726743 + 1.06955393236399*i

z2 = 1.06955393236399 - 0.212747504726743*i

z3 = -1.06955393236399 + 0.212747504726743*i

z4 = -0.212747504726743 - 1.06955393236399*i