z^4=(3-5*i) (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4=(3-5*i)

Вы ввели

 4          
z  = 3 - 5*I

$$z^{4} = 3 - 5 i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} = 3 - 5 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = 3 - 5*i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = 3 - 5 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 3 - 5 i$$
где
$$r = \sqrt[8]{34}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = \frac{\sqrt{34} \left(3 - 5 i\right)}{34}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = \frac{\sqrt{34} \left(3 - 5 i\right)}{34}$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = \frac{3 \sqrt{34}}{34}$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = - \frac{5 \sqrt{34}}{34}$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt[8]{34} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} - \sqrt[8]{34} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$
$$w_{2} = \sqrt[8]{34} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} + \sqrt[8]{34} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$
$$w_{3} = - \sqrt[8]{34} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} + \sqrt[8]{34} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$
$$w_{4} = \sqrt[8]{34} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} - \sqrt[8]{34} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt[8]{34} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} - \sqrt[8]{34} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$
$$z_{2} = \sqrt[8]{34} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} + \sqrt[8]{34} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$
$$z_{3} = - \sqrt[8]{34} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} + \sqrt[8]{34} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$
$$z_{4} = \sqrt[8]{34} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} - \sqrt[8]{34} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$

Быстрый ответ

       8 ____    /atan(5/3)\     8 ____    /atan(5/3)\
z1 = - \/ 34 *sin|---------| - I*\/ 34 *cos|---------|
                 \    4    /               \    4    /

$$z_{1} = - \sqrt[8]{34} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} - \sqrt[8]{34} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$

     8 ____    /atan(5/3)\     8 ____    /atan(5/3)\
z2 = \/ 34 *sin|---------| + I*\/ 34 *cos|---------|
               \    4    /               \    4    /

$$z_{2} = \sqrt[8]{34} \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} + \sqrt[8]{34} i \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$

       8 ____    /atan(5/3)\     8 ____    /atan(5/3)\
z3 = - \/ 34 *cos|---------| + I*\/ 34 *sin|---------|
                 \    4    /               \    4    /

$$z_{3} = - \sqrt[8]{34} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} + \sqrt[8]{34} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$

     8 ____    /atan(5/3)\     8 ____    /atan(5/3)\
z4 = \/ 34 *cos|---------| - I*\/ 34 *sin|---------|
               \    4    /               \    4    /

$$z_{4} = \sqrt[8]{34} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)} - \sqrt[8]{34} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{3} \right)}}{4} \right)}$$

Численный ответ

z1 = 0.395874355221988 + 1.50267092127451*i

z2 = 1.50267092127451 - 0.395874355221988*i

z3 = -1.50267092127451 + 0.395874355221988*i

z4 = -0.395874355221988 - 1.50267092127451*i