z^4=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4=8

Вы ввели

 4    
z  = 8

$$z^{4} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} = 8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{\left(1 z + 0\right)^{4}} = 2^{\frac{3}{4}}$$
$$\sqrt[4]{\left(1 z + 0\right)^{4}} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
или
$$z = 2^{\frac{3}{4}}$$
$$z = - 2^{\frac{3}{4}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 2^3/4

Получим ответ: z = 2^(3/4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -2^3/4

Получим ответ: z = -2^(3/4)
или
$$z_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
$$z_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 8$$
где
$$r = 2^{\frac{3}{4}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
$$w_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$
$$w_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} i$$
$$w_{4} = 2^{\frac{3}{4}} i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$
$$z_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$
$$z_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} i$$
$$z_{4} = 2^{\frac{3}{4}} i$$

Быстрый ответ

       3/4
z1 = -2   

$$z_{1} = - 2^{\frac{3}{4}}$$

      3/4
z2 = 2   

$$z_{2} = 2^{\frac{3}{4}}$$

         3/4
z3 = -I*2   

$$z_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} i$$

        3/4
z4 = I*2   

$$z_{4} = 2^{\frac{3}{4}} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

     3/4    3/4      3/4      3/4
0 - 2    + 2    - I*2    + I*2   

$$\left(\left(\left(- 2^{\frac{3}{4}} + 0\right) + 2^{\frac{3}{4}}\right) - 2^{\frac{3}{4}} i\right) + 2^{\frac{3}{4}} i$$

=

0

$$0$$

произведение

    3/4  3/4     3/4    3/4
1*-2   *2   *-I*2   *I*2   

$$2^{\frac{3}{4}} i - 2^{\frac{3}{4}} i 2^{\frac{3}{4}} \cdot 1 \left(- 2^{\frac{3}{4}}\right)$$

=

-8

$$-8$$

Численный ответ

z1 = 1.68179283050743

z2 = -1.68179283050743

z3 = 1.68179283050743*i

z4 = -1.68179283050743*i

График