z^4=81 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4=81

Вы ввели

 4     
z  = 81

$$z^{4} = 81$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} = 81$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[4]{z^{4}} = \sqrt[4]{81}$$
$$\sqrt[4]{z^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{81}$$
или
$$z = 3$$
$$z = -3$$
Получим ответ: z = 3
Получим ответ: z = -3
или
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = 3$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = 81$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 81$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -3$$
$$w_{2} = 3$$
$$w_{3} = - 3 i$$
$$w_{4} = 3 i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = 3$$
$$z_{3} = - 3 i$$
$$z_{4} = 3 i$$

Быстрый ответ

z1 = -3

$$z_{1} = -3$$

z2 = 3

$$z_{2} = 3$$

z3 = -3*I

$$z_{3} = - 3 i$$

z4 = 3*I

$$z_{4} = 3 i$$

Сумма и произведение корней

сумма

-3 + 3 - 3*I + 3*I

$$\left(\left(-3 + 3\right) - 3 i\right) + 3 i$$

=

0

$$0$$

произведение

-3*3*-3*I*3*I

$$3 i - 9 \left(- 3 i\right)$$

=

-81

$$-81$$

Численный ответ

z1 = 3.0

z2 = -3.0

z3 = 3.0*i

z4 = -3.0*i

График