z^4=8*j (уравнение)

Найду корень уравнения: z^4=8*j

Вы ввели

 4      
z  = 8*I

$$z^{4} = 8 i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{4} = 8 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = 8*i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = 8 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 8 i$$
где
$$r = 2^{\frac{3}{4}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{2} = 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$w_{4} = 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$
$$z_{4} = 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Быстрый ответ

                 ___________               ___________
                /       ___               /       ___ 
        3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  
z1 = - 2   *  /   - - -----  + I*2   *  /   - + ----- 
            \/    2     4             \/    2     4   

$$z_{1} = - 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

               ___________               ___________
              /       ___               /       ___ 
      3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  
z2 = 2   *  /   - - -----  - I*2   *  /   - + ----- 
          \/    2     4             \/    2     4   

$$z_{2} = 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

                 ___________               ___________
                /       ___               /       ___ 
        3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  
z3 = - 2   *  /   - + -----  - I*2   *  /   - - ----- 
            \/    2     4             \/    2     4   

$$z_{3} = - 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

               ___________               ___________
              /       ___               /       ___ 
      3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  
z4 = 2   *  /   - + -----  + I*2   *  /   - - ----- 
          \/    2     4             \/    2     4   

$$z_{4} = 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ___________               ___________             ___________               ___________               ___________               ___________             ___________               ___________
           /       ___               /       ___             /       ___               /       ___               /       ___               /       ___             /       ___               /       ___ 
   3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2      3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2      3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  
- 2   *  /   - - -----  + I*2   *  /   - + -----  + 2   *  /   - - -----  - I*2   *  /   - + -----  + - 2   *  /   - + -----  - I*2   *  /   - - -----  + 2   *  /   - + -----  + I*2   *  /   - - ----- 
       \/    2     4             \/    2     4           \/    2     4             \/    2     4             \/    2     4             \/    2     4           \/    2     4             \/    2     4   

$$\left(\left(- 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) + \left(\left(2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) + \left(- 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right)\right)\right) + \left(2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

/            ___________               ___________\ /          ___________               ___________\ /            ___________               ___________\ /          ___________               ___________\
|           /       ___               /       ___ | |         /       ___               /       ___ | |           /       ___               /       ___ | |         /       ___               /       ___ |
|   3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  | | 3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  | |   3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  | | 3/4    /  1   \/ 2        3/4    /  1   \/ 2  |
|- 2   *  /   - - -----  + I*2   *  /   - + ----- |*|2   *  /   - - -----  - I*2   *  /   - + ----- |*|- 2   *  /   - + -----  - I*2   *  /   - - ----- |*|2   *  /   - + -----  + I*2   *  /   - - ----- |
\       \/    2     4             \/    2     4   / \     \/    2     4             \/    2     4   / \       \/    2     4             \/    2     4   / \     \/    2     4             \/    2     4   /

$$\left(- 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\right) \left(- 2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right) \left(2^{\frac{3}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 2^{\frac{3}{4}} i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\right)$$

=

-8*I

$$- 8 i$$

Численный ответ

z1 = -1.55377397403004 - 0.643594252905583*i

z2 = 0.643594252905583 - 1.55377397403004*i

z3 = 1.55377397403004 + 0.643594252905583*i

z4 = -0.643594252905583 + 1.55377397403004*i