z^2-i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^2-i=0

Вы ввели

 2        
z  - I = 0

$$z^{2} - i = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = - i$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-i) = 4*i

Уравнение имеет два корня.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = \sqrt{i}$$
Упростить
$$z_{2} = - \sqrt{i}$$
Упростить

Быстрый ответ

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z1 = - ----- - -------
         2        2   

$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z2 = ----- + -------
       2        2   

$$z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        ___       ___     ___       ___
      \/ 2    I*\/ 2    \/ 2    I*\/ 2 
0 + - ----- - ------- + ----- + -------
        2        2        2        2   

$$\left(0 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /    ___       ___\ /  ___       ___\
  |  \/ 2    I*\/ 2 | |\/ 2    I*\/ 2 |
1*|- ----- - -------|*|----- + -------|
  \    2        2   / \  2        2   /

$$1 \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

-I

$$- i$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = - i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = 0$$
$$z_{1} z_{2} = - i$$

Численный ответ

z1 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i

z2 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i

График