z^2-z+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^2-z+1=0

Вы ввели

 2            
z  - z + 1 = 0

$$\left(z^{2} - z\right) + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (1) = -3

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

             ___
     1   I*\/ 3 
z1 = - - -------
     2      2   

$$z_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
z2 = - + -------
     2      2   

$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        ___           ___
1   I*\/ 3    1   I*\/ 3 
- - ------- + - + -------
2      2      2      2   

$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

произведение

/        ___\ /        ___\
|1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 |
|- - -------|*|- + -------|
\2      2   / \2      2   /

$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = 1$$
$$z_{1} z_{2} = 1$$

Численный ответ

z1 = 0.5 - 0.866025403784439*i

z2 = 0.5 + 0.866025403784439*i

График