z^2-z+5=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^2-z+5=0

Вы ввели

 2            
z  - z + 5 = 0

$$z^{2} - z + 5 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (5) = -19

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19} i}{2}$$
Упростить
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{19} i}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

             ____
     1   I*\/ 19 
z1 = - - --------
     2      2    

$$z_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{19} i}{2}$$

             ____
     1   I*\/ 19 
z2 = - + --------
     2      2    

$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ____           ____
    1   I*\/ 19    1   I*\/ 19 
0 + - - -------- + - + --------
    2      2       2      2    

$$\left(0 + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{19} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19} i}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

произведение

  /        ____\ /        ____\
  |1   I*\/ 19 | |1   I*\/ 19 |
1*|- - --------|*|- + --------|
  \2      2    / \2      2    /

$$1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{19} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19} i}{2}\right)$$

=

5

$$5$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 5$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = 1$$
$$z_{1} z_{2} = 5$$

Численный ответ

z1 = 0.5 + 2.17944947177034*i

z2 = 0.5 - 2.17944947177034*i

График