z^2+z+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^2+z+1=0

Вы ввели

 2            
z  + z + 1 = 0

$$z^{2} + z + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (1) = -3

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

               ___
       1   I*\/ 3 
z1 = - - - -------
       2      2   

$$z_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
z2 = - - + -------
       2      2   

$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              ___             ___
      1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
0 + - - - ------- + - - + -------
      2      2        2      2   

$$\left(0 - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-1

$$-1$$

произведение

  /          ___\ /          ___\
  |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
1*|- - - -------|*|- - + -------|
  \  2      2   / \  2      2   /

$$1 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

Теорема Виета

это приведённое квадратное уравнение
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = -1$$
$$z_{1} z_{2} = 1$$

Численный ответ

z1 = -0.5 + 0.866025403784439*i

z2 = -0.5 - 0.866025403784439*i

График