z^12-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^12-1=0

Вы ввели

 12        
z   - 1 = 0

$$z^{12} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{12} - 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 12 - содержит чётное число 12 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 12-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[12]{z^{12}} = \sqrt[12]{1}$$
$$\sqrt[12]{z^{12}} = \left(-1\right) \sqrt[12]{1}$$
или
$$z = 1$$
$$z = -1$$
Получим ответ: z = 1
Получим ответ: z = -1
или
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$

Остальные 10 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{12} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{12} e^{12 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{12 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(12 p \right)} + \cos{\left(12 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(12 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(12 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
$$w_{3} = - i$$
$$w_{4} = i$$
$$w_{5} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{6} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{7} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{8} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{9} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{10} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{11} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - i$$
$$z_{4} = i$$
$$z_{5} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{9} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{10} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{11} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = -1

$$z_{1} = -1$$

z2 = 1

$$z_{2} = 1$$

z3 = -I

$$z_{3} = - i$$

z4 = I

$$z_{4} = i$$

               ___
       1   I*\/ 3 
z5 = - - - -------
       2      2   

$$z_{5} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
z6 = - - + -------
       2      2   

$$z_{6} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
z7 = - - -------
     2      2   

$$z_{7} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
z8 = - + -------
     2      2   

$$z_{8} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
       I   \/ 3 
z9 = - - - -----
       2     2  

$$z_{9} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$

            ___
      I   \/ 3 
z10 = - - -----
      2     2  

$$z_{10} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

        ___    
      \/ 3    I
z11 = ----- - -
        2     2

$$z_{11} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$

            ___
      I   \/ 3 
z12 = - + -----
      2     2  

$$z_{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                           ___             ___           ___           ___           ___         ___     ___             ___
                   1   I*\/ 3      1   I*\/ 3    1   I*\/ 3    1   I*\/ 3      I   \/ 3    I   \/ 3    \/ 3    I   I   \/ 3 
-1 + 1 - I + I + - - - ------- + - - + ------- + - - ------- + - + ------- + - - - ----- + - - ----- + ----- - - + - + -----
                   2      2        2      2      2      2      2      2        2     2     2     2       2     2   2     2  

$$\left(\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(-1 + 1\right) - i\right) + i\right)\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

        /          ___\ /          ___\ /        ___\ /        ___\ /        ___\ /      ___\ /  ___    \ /      ___\
        |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 | |  I   \/ 3 | |I   \/ 3 | |\/ 3    I| |I   \/ 3 |
-(-I)*I*|- - - -------|*|- - + -------|*|- - -------|*|- + -------|*|- - - -----|*|- - -----|*|----- - -|*|- + -----|
        \  2      2   / \  2      2   / \2      2   / \2      2   / \  2     2  / \2     2  / \  2     2/ \2     2  /

$$i \left(- \left(-1\right) i\right) \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$

=

-1

$$-1$$

Численный ответ

z1 = -0.5 - 0.866025403784439*i

z2 = -0.866025403784439 - 0.5*i

z3 = 0.5 - 0.866025403784439*i

z4 = -1.0*i

z5 = -0.866025403784439 + 0.5*i

z6 = 0.866025403784439 - 0.5*i

z7 = 0.5 + 0.866025403784439*i

z8 = -0.5 + 0.866025403784439*i

z9 = 1.0

z10 = -1.0

z11 = 1.0*i

z12 = 0.866025403784439 + 0.5*i

График