Решение уравнений/ Любые/ z^5-32=0

z^5-32=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^5-32=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     5         
z  - 32 = 0
    z5−32=0z^{5} - 32 = 0
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    z5−32=0z^{5} - 32 = 0
    Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    z55=325\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{32}
    или
    z=2z = 2
    Получим ответ: z = 2

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    w=zw = z
    тогда ур-ние будет таким:
    w5=32w^{5} = 32
    Любое комплексное число можно представить так:
    w=reipw = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r5e5ip=32r^{5} e^{5 i p} = 32
    где
    r=2r = 2
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e5ip=1e^{5 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin⁡(5p)+cos⁡(5p)=1i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1
    значит
    cos⁡(5p)=1\cos{\left(5 p \right)} = 1
    и
    sin⁡(5p)=0\sin{\left(5 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN5p = \frac{2 \pi N}{5}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    w1=2w_{1} = 2
    w2=−12+52−2i58+58w_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
    w3=−12+52+2i58+58w_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
    w4=−52−12−2i58−58w_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    w5=−52−12+2i58−58w_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    делаем обратную замену
    w=zw = z
    z=wz = w

    Тогда, окончательный ответ:
    z1=2z_{1} = 2
    z2=−12+52−2i58+58z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
    z3=−12+52+2i58+58z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
    z4=−52−12−2i58−58z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    z5=−52−12+2i58−58z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    Быстрый ответ [src]
    z1 = 2
    z1=2z_{1} = 2
                                ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
z2 = - - + ----- - 2*I*  /   - + ----- 
       2     2         \/    8     8
    z2=−12+52−2i58+58z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
                                ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
z3 = - - + ----- + 2*I*  /   - + ----- 
       2     2         \/    8     8
    z3=−12+52+2i58+58z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}
                                ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
z4 = - - - ----- - 2*I*  /   - - ----- 
       2     2         \/    8     8
    z4=−52−12−2i58−58z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
                                ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
z5 = - - - ----- + 2*I*  /   - - ----- 
       2     2         \/    8     8
    z5=−52−12+2i58−58z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}
    Численный ответ [src]
    z1 = -1.61803398874989 + 1.17557050458495*i
    z2 = 2.0
    z3 = -1.61803398874989 - 1.17557050458495*i
    z4 = 0.618033988749895 - 1.90211303259031*i
    z5 = 0.618033988749895 + 1.90211303259031*i