Решите уравнение z^5-32=0 (z в степени 5 минус 32 равно 0) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ответ!]
Решение уравнений/ Любые/ z^5-32=0

z^5-32=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^5-32=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     5         
z  - 32 = 0
    $$z^{5} - 32 = 0$$
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{5} - 32 = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{32}$$
    или
    $$z = 2$$
    Получим ответ: z = 2

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{5} = 32$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{5} e^{5 i p} = 32$$
    где
    $$r = 2$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{5 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = 2$$
    $$w_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$w_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$w_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    $$w_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = 2$$
    $$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
    $$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    $$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    Быстрый ответ [src]
    z1 = 2
    $$z_{1} = 2$$
                                ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
z2 = - - + ----- - 2*I*  /   - + ----- 
       2     2         \/    8     8
    $$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
                                ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
z3 = - - + ----- + 2*I*  /   - + ----- 
       2     2         \/    8     8
    $$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
                                ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
z4 = - - - ----- - 2*I*  /   - - ----- 
       2     2         \/    8     8
    $$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
                                ___________
             ___           /       ___ 
       1   \/ 5           /  5   \/ 5  
z5 = - - - ----- + 2*I*  /   - - ----- 
       2     2         \/    8     8
    $$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
    Численный ответ [src]
    z1 = -1.61803398874989 + 1.17557050458495*i
    z2 = 2.0
    z3 = -1.61803398874989 - 1.17557050458495*i
    z4 = 0.618033988749895 - 1.90211303259031*i
    z5 = 0.618033988749895 + 1.90211303259031*i