Решение уравнений/ Любые/ z^5+1+i=0

z^5+1+i=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^5+1+i=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     5            
z  + 1 + I = 0
    (z5+1)+i=0\left(z^{5} + 1\right) + i = 0
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    (z5+1)+i=0\left(z^{5} + 1\right) + i = 0
    Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    z55=−1−i5\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{-1 - i}
    или
    z=−1−i5z = \sqrt[5]{-1 - i}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    z = -1+i^1/5

    Получим ответ: z = (-1 - i)^(1/5)

    Остальные 5 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    w=zw = z
    тогда ур-ние будет таким:
    w5=−1−iw^{5} = -1 - i
    Любое комплексное число можно представить так:
    w=reipw = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r5e5ip=−1−ir^{5} e^{5 i p} = -1 - i
    где
    r=210r = \sqrt[10]{2}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e5ip=2(−1−i)2e^{5 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 - i\right)}{2}
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin⁡(5p)+cos⁡(5p)=2(−1−i)2i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 - i\right)}{2}
    значит
    cos⁡(5p)=−22\cos{\left(5 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
    и
    sin⁡(5p)=−22\sin{\left(5 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
    тогда
    p=2πN5+π20p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{20}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    w1=2352+235i2w_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{2}
    w2=−2358+23558+23558+582−235i58+582−235i8+2355i8w_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8}
    w3=−23558−23558+584−2358+235558+584−2355i58+584−2355i8−235i8+235i58+584w_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}
    w4=−235558+588−235558−588−2358−23558+588+23558−588+23558−5858+582−235i8−235i58−588+235i58+588+2355i58−588+2355i58+588+235i58−5858+582w_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}
    w5=−23558−5858+582−235558+588−2358−23558+588−23558−588+235558−588−235i58−5858+582−2355i58−588−235i8+235i58−588+235i58+588+2355i58+588w_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}
    делаем обратную замену
    w=zw = z
    z=wz = w

    Тогда, окончательный ответ:
    z1=2352+235i2z_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{2}
    z2=−2358+23558+23558+582−235i58+582−235i8+2355i8z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8}
    z3=−23558−23558+584−2358+235558+584−2355i58+584−2355i8−235i8+235i58+584z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}
    z4=−235558+588−235558−588−2358−23558+588+23558−588+23558−5858+582−235i8−235i58−588+235i58+588+2355i58−588+2355i58+588+235i58−5858+582z_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}
    z5=−23558−5858+582−235558+588−2358−23558+588−23558−588+235558−588−235i58−5858+582−2355i58−588−235i8+235i58−588+235i58+588+2355i58+588z_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}
    График
    Быстрый ответ [src]
          3/5      3/5
     2      I*2   
z1 = ---- + ------
      2       2
    z1=2352+235i2z_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{2}
                    /                   ___________             \             ___________             
                |                  /       ___              |            /       ___              
                |          3/5    /  5   \/ 5               |    3/5    /  5   \/ 5               
        3/5     |   3/5   2   *  /   - + -----     3/5   ___|   2   *  /   - + -----     3/5   ___
       2        |  2           \/    8     8      2   *\/ 5 |        \/    8     8      2   *\/ 5 
z2 = - ---- + I*|- ---- - --------------------- + ----------| + --------------------- + ----------
        8       \   8               2                 8     /             2                 8
    z2=−2358+23558+23558+582+i(−23558+582−2358+23558)z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8}\right)
                    /                                ___________                   ___________\             ___________                                ___________
                |                               /       ___                   /       ___ |            /       ___                                /       ___ 
                |                       3/5    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  |    3/5    /  5   \/ 5                   3/5   ___    /  5   \/ 5  
        3/5     |   3/5    3/5   ___   2   *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - + ----- |   2   *  /   - + -----     3/5   ___   2   *\/ 5 *  /   - + ----- 
       2        |  2      2   *\/ 5         \/    8     8                 \/    8     8   |        \/    8     8      2   *\/ 5               \/    8     8   
z3 = - ---- + I*|- ---- - ---------- + --------------------- - ---------------------------| - --------------------- - ---------- + ---------------------------
        8       \   8         8                  4                          4             /             4                 8                     4
    z3=−23558−23558+584−2358+235558+584+i(−235558+584−23558−2358+23558+584)z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)
                    /                   ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________\             ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________
                |                  /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ |            /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ 
                |          3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  |    3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  
        3/5     |   3/5   2   *  /   - - -----    2   *  /   - + -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - -----    2   *\/ 5 *  /   - + ----- |   2   *  /   - + -----    2   *  /   - - -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - -----    2   *\/ 5 *  /   - + ----- 
       2        |  2           \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   |        \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   
z4 = - ---- + I*|- ---- - --------------------- + --------------------- + -------------------------------------- + --------------------------- + ---------------------------| - --------------------- + --------------------- + -------------------------------------- - --------------------------- - ---------------------------
        8       \   8               8                       8                               2                                   8                             8             /             8                       8                               2                                   8                             8
    z4=−235558+588−235558−588−2358−23558+588+23558−588+23558−5858+582+i(−2358−23558−588+23558+588+235558−588+235558+588+23558−5858+582)z_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}\right)
                    /                   ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________\             ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________
                |                  /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ |            /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ 
                |          3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  |    3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  
        3/5     |   3/5   2   *  /   - - -----    2   *  /   - + -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - -----    2   *\/ 5 *  /   - + ----- |   2   *  /   - - -----    2   *  /   - + -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - ----- 
       2        |  2           \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   |        \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   
z5 = - ---- + I*|- ---- + --------------------- + --------------------- - -------------------------------------- - --------------------------- + ---------------------------| - --------------------- - --------------------- - -------------------------------------- - --------------------------- + ---------------------------
        8       \   8               8                       8                               2                                   8                             8             /             8                       8                               2                                   8                             8
    z5=−23558−5858+582−235558+588−2358−23558+588−23558−588+235558−588+i(−23558−5858+582−235558−588−2358+23558−588+23558+588+235558+588)z_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}\right)
    Численный ответ [src]
    z1 = -0.167662308256181 - 1.05857815270638*i
    z2 = -1.05857815270638 - 0.167662308256181*i
    z3 = 0.757858283255199 + 0.757858283255199*i
    z4 = -0.486574969864436 + 0.954957147571795*i
    z5 = 0.954957147571795 - 0.486574969864436*i