z^5+1+i=0 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: z^5+1+i=0
Решение
Подробное решение
$$\left(z^{5} + 1\right) + i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{-1 - i}$$
или
$$z = \sqrt[5]{-1 - i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
z = -1+i^1/5
Получим ответ: z = (-1 - i)^(1/5)
Остальные 5 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = -1 - i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -1 - i$$
где
$$r = \sqrt[10]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 - i\right)}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 - i\right)}{2}$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{20}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$w_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$w_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}$$
График
Быстрый ответ
[src]
3/5 3/5
2 I*2
z1 = ---- + ------
2 2 / ___________ \ ___________
| / ___ | / ___
| 3/5 / 5 \/ 5 | 3/5 / 5 \/ 5
3/5 | 3/5 2 * / - + ----- 3/5 ___| 2 * / - + ----- 3/5 ___
2 | 2 \/ 8 8 2 *\/ 5 | \/ 8 8 2 *\/ 5
z2 = - ---- + I*|- ---- - --------------------- + ----------| + --------------------- + ----------
8 \ 8 2 8 / 2 8 / ___________ ___________\ ___________ ___________
| / ___ / ___ | / ___ / ___
| 3/5 / 5 \/ 5 3/5 ___ / 5 \/ 5 | 3/5 / 5 \/ 5 3/5 ___ / 5 \/ 5
3/5 | 3/5 3/5 ___ 2 * / - + ----- 2 *\/ 5 * / - + ----- | 2 * / - + ----- 3/5 ___ 2 *\/ 5 * / - + -----
2 | 2 2 *\/ 5 \/ 8 8 \/ 8 8 | \/ 8 8 2 *\/ 5 \/ 8 8
z3 = - ---- + I*|- ---- - ---------- + --------------------- - ---------------------------| - --------------------- - ---------- + ---------------------------
8 \ 8 8 4 4 / 4 8 4 / ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________\ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________
| / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___
| 3/5 / 5 \/ 5 3/5 / 5 \/ 5 3/5 / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 3/5 ___ / 5 \/ 5 3/5 ___ / 5 \/ 5 | 3/5 / 5 \/ 5 3/5 / 5 \/ 5 3/5 / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 3/5 ___ / 5 \/ 5 3/5 ___ / 5 \/ 5
3/5 | 3/5 2 * / - - ----- 2 * / - + ----- 2 * / - - ----- * / - + ----- 2 *\/ 5 * / - - ----- 2 *\/ 5 * / - + ----- | 2 * / - + ----- 2 * / - - ----- 2 * / - - ----- * / - + ----- 2 *\/ 5 * / - - ----- 2 *\/ 5 * / - + -----
2 | 2 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8
z4 = - ---- + I*|- ---- - --------------------- + --------------------- + -------------------------------------- + --------------------------- + ---------------------------| - --------------------- + --------------------- + -------------------------------------- - --------------------------- - ---------------------------
8 \ 8 8 8 2 8 8 / 8 8 2 8 8 / ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________\ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________
| / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___
| 3/5 / 5 \/ 5 3/5 / 5 \/ 5 3/5 / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 3/5 ___ / 5 \/ 5 3/5 ___ / 5 \/ 5 | 3/5 / 5 \/ 5 3/5 / 5 \/ 5 3/5 / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 3/5 ___ / 5 \/ 5 3/5 ___ / 5 \/ 5
3/5 | 3/5 2 * / - - ----- 2 * / - + ----- 2 * / - - ----- * / - + ----- 2 *\/ 5 * / - - ----- 2 *\/ 5 * / - + ----- | 2 * / - - ----- 2 * / - + ----- 2 * / - - ----- * / - + ----- 2 *\/ 5 * / - + ----- 2 *\/ 5 * / - - -----
2 | 2 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8
z5 = - ---- + I*|- ---- + --------------------- + --------------------- - -------------------------------------- - --------------------------- + ---------------------------| - --------------------- - --------------------- - -------------------------------------- - --------------------------- + ---------------------------
8 \ 8 8 8 2 8 8 / 8 8 2 8 8
Численный ответ
[src]
z1 = -0.167662308256181 - 1.05857815270638*i
z2 = -1.05857815270638 - 0.167662308256181*i
z3 = 0.757858283255199 + 0.757858283255199*i
z4 = -0.486574969864436 + 0.954957147571795*i
z5 = 0.954957147571795 - 0.486574969864436*i