- Решение пределов lim x→∞
- Производная функции f(x)'
- Решение интегралов ∫dx
- Решение уравнений x^2=1
- Система уравнений {x-2y=0}
- Построение графиков f(x)
- Решение неравенств x<1
- Комплексные числа ⅈ
- Ряды ∑
- Матрицы [⊹]
- Вектора
- Обычный и инженерный калькулятор
Как пользоваться?
- уравнение:
- k^2=k*(x+2)-2
- 2*x+2-4/x^2=0
- e^(1/(-x+1))=0
- x^2-3*a*x+4*a=0
- (125/59-a)-16/59=64/59
- x^2 + 5,74*x/(10^10) - 17,2/(10^11) = 0
- Произведение корней:
- (x-5)^2-17=0
- (x-5)^2-17=0
- Выразите переменную {x} через {y} из:
- 5*x+12*y=-6
- 4*x+11*y=17
- 18*x+5*y=6
- -18*x-13*y=14
- 5*x+12*y=-6
- 4*x+11*y=17
Идентичные выражения
- z^ пять =- двести сорок три
- z в степени 5 равно минус 243
- z в степени пять равно минус двести сорок три
- z5=-243
- z⁵=-243
Похожие выражения
- z^5-i=0
- z^5=-7*i
- z^5=+243
- z^5+z=0
- Информация для покупателей
z^5=-243 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: z^5=-243
Решение
Подробное решение
$$z^{5} = -243$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{-243}$$
или
$$z = 3 \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
z = -3*1^1/5
Получим ответ: z = 3*(-1)^(1/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = -243$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -243$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -3$$
$$w_{2} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$w_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$w_{4} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$w_{5} = - 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{4} = \frac{3}{4} + 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$z_{5} = - 3 \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{3}{4} - \frac{3 i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
Быстрый ответ
[src]
z1 = -3
/ ___________ ___________\
| / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 |
___ | 3* / - - ----- 3*\/ 5 * / - - ----- |
3 3*\/ 5 | \/ 8 8 \/ 8 8 |
z2 = - - ------- + I*|- ------------------ - ------------------------|
4 4 \ 2 2 / / ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________
| 3* / - - ----- 3* / - + ----- 3*\/ 5 * / - + ----- 3*\/ 5 * / - - ----- | / ___ / ___
3 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5
z3 = - + I*|- ------------------ - ------------------ - ------------------------ + ------------------------| + 3* / - - ----- * / - + -----
4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 / ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________
| 3* / - - ----- 3* / - + ----- 3*\/ 5 * / - - ----- 3*\/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___
3 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5
z4 = - + I*|- ------------------ + ------------------ + ------------------------ + ------------------------| - 3* / - - ----- * / - + -----
4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 ___________
___ / ___
3 3*\/ 5 / 5 \/ 5
z5 = - + ------- + 3*I* / - - -----
4 4 \/ 8 8
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
/ ___________ ___________\ / ___________ ___________ ___________ ___________\ / ___________ ___________ ___________ ___________\
| / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ |
| / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________ | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________ ___________
___ | 3* / - - ----- 3*\/ 5 * / - - ----- | | 3* / - - ----- 3* / - + ----- 3*\/ 5 * / - + ----- 3*\/ 5 * / - - ----- | / ___ / ___ | 3* / - - ----- 3* / - + ----- 3*\/ 5 * / - - ----- 3*\/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___ ___ / ___
3 3*\/ 5 | \/ 8 8 \/ 8 8 | 3 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 3 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 3 3*\/ 5 / 5 \/ 5
-3 + - - ------- + I*|- ------------------ - ------------------------| + - + I*|- ------------------ - ------------------ - ------------------------ + ------------------------| + 3* / - - ----- * / - + ----- + - + I*|- ------------------ + ------------------ + ------------------------ + ------------------------| - 3* / - - ----- * / - + ----- + - + ------- + 3*I* / - - -----
4 4 \ 2 2 / 4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 4 4 \/ 8 8 =
/ ___________ ___________\ / ___________ ___________ ___________ ___________\ / ___________ ___________ ___________ ___________\ | / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ | | / ___ / ___ / ___ / ___ | | / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ | 3* / - - ----- 3*\/ 5 * / - - ----- | | 3* / - - ----- 3* / - + ----- 3*\/ 5 * / - + ----- 3*\/ 5 * / - - ----- | | 3* / - - ----- 3* / - + ----- 3*\/ 5 * / - - ----- 3*\/ 5 * / - + ----- | / ___ | \/ 8 8 \/ 8 8 | | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 I*|- ------------------ - ------------------------| + I*|- ------------------ - ------------------ - ------------------------ + ------------------------| + I*|- ------------------ + ------------------ + ------------------------ + ------------------------| + 3*I* / - - ----- \ 2 2 / \ 4 4 4 4 / \ 4 4 4 4 / \/ 8 8
произведение
/ / ___________ ___________\\ / / ___________ ___________ ___________ ___________\ \ / / ___________ ___________ ___________ ___________\ \ | | / ___ / ___ || | | / ___ / ___ / ___ / ___ | | | | / ___ / ___ / ___ / ___ | | | | / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 || | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________| | | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 ___ / 5 \/ 5 | ___________ ___________| / ___________\ | ___ | 3* / - - ----- 3*\/ 5 * / - - ----- || | | 3* / - - ----- 3* / - + ----- 3*\/ 5 * / - + ----- 3*\/ 5 * / - - ----- | / ___ / ___ | | | 3* / - - ----- 3* / - + ----- 3*\/ 5 * / - - ----- 3*\/ 5 * / - + ----- | / ___ / ___ | | ___ / ___ | |3 3*\/ 5 | \/ 8 8 \/ 8 8 || |3 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 | |3 | \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 \/ 8 8 | / 5 \/ 5 / 5 \/ 5 | |3 3*\/ 5 / 5 \/ 5 | -3*|- - ------- + I*|- ------------------ - ------------------------||*|- + I*|- ------------------ - ------------------ - ------------------------ + ------------------------| + 3* / - - ----- * / - + ----- |*|- + I*|- ------------------ + ------------------ + ------------------------ + ------------------------| - 3* / - - ----- * / - + ----- |*|- + ------- + 3*I* / - - ----- | \4 4 \ 2 2 // \4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 / \4 \ 4 4 4 4 / \/ 8 8 \/ 8 8 / \4 4 \/ 8 8 /
=
/ _______________\ / ____________ \ / / ______________ _______________ _______________ ______________\\ / / _______________ ______________ ______________ _______________\\
| ___ / ___ | | ___ / ___ / ___ ____\| | ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ || | ___ | / ___ / ___ / ___ / ___ ||
243*\1 + \/ 5 + \/ -10 + 2*\/ 5 /*\-2 + 2*\/ 5 + \/ -5 + \/ 5 *\\/ 2 + \/ 10 //*\4 - 4*\/ 5 + I*\\/ 10 + 2*\/ 5 + \/ 50 - 10*\/ 5 + \/ 50 + 10*\/ 5 - \/ 10 - 2*\/ 5 //*\4 + 4*\/ 5 + I*\\/ 50 - 10*\/ 5 - \/ 10 - 2*\/ 5 - \/ 10 + 2*\/ 5 - \/ 50 + 10*\/ 5 //
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8192
Численный ответ
[src]
z1 = -0.927050983124842 - 2.85316954888546*i
z2 = -3.0
z3 = 2.42705098312484 + 1.76335575687742*i
z4 = -0.927050983124842 + 2.85316954888546*i
z5 = 2.42705098312484 - 1.76335575687742*i
График