z^5=1-i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Найду корень уравнения: z^5=1-i

Решение

Вы ввели [src]

 5        
z  = 1 - I

$$z^{5} = 1 - i$$

Упростить

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{5} = 1 - i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{1 - i}$$
или
$$z = \sqrt[5]{1 - i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 1+i^1/5

Получим ответ: z = (1 - i)^(1/5)

Остальные 5 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = 1 - i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 1 - i$$
где
$$r = \sqrt[10]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(1 - i\right)}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(1 - i\right)}{2}$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} - \frac{\pi}{20}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8}$$
$$w_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}$$
$$w_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$

График

Быстрый ответ [src]

        3/5      3/5
       2      I*2   
z1 = - ---- + ------
        2       2

$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{2}$$

              /                   ___________             \             ___________             
              |                  /       ___              |            /       ___              
              |          3/5    /  5   \/ 5               |    3/5    /  5   \/ 5               
      3/5     |   3/5   2   *  /   - - -----     3/5   ___|   2   *  /   - - -----     3/5   ___
     2        |  2           \/    8     8      2   *\/ 5 |        \/    8     8      2   *\/ 5 
z2 = ---- + I*|- ---- + --------------------- - ----------| + --------------------- + ----------
      8       \   8               2                 8     /             2                 8

$$z_{2} = \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}\right)$$

              /                   ___________                                ___________\             ___________                                ___________
              |                  /       ___                                /       ___ |            /       ___                                /       ___ 
              |          3/5    /  5   \/ 5                   3/5   ___    /  5   \/ 5  |    3/5    /  5   \/ 5                   3/5   ___    /  5   \/ 5  
      3/5     |   3/5   2   *  /   - - -----     3/5   ___   2   *\/ 5 *  /   - - ----- |   2   *  /   - - -----     3/5   ___   2   *\/ 5 *  /   - - ----- 
     2        |  2           \/    8     8      2   *\/ 5               \/    8     8   |        \/    8     8      2   *\/ 5               \/    8     8   
z3 = ---- + I*|- ---- - --------------------- + ---------- - ---------------------------| - --------------------- - ---------- - ---------------------------
      8       \   8               4                 8                     4             /             4                 8                     4

$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8}\right)$$

              /                   ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________\             ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________
              |                  /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ |            /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ 
              |          3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  |    3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  
      3/5     |   3/5   2   *  /   - - -----    2   *  /   - + -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - ----- |   2   *  /   - - -----    2   *  /   - + -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - ----- 
     2        |  2           \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   |        \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   
z4 = ---- + I*|- ---- - --------------------- - --------------------- - -------------------------------------- - --------------------------- + ---------------------------| - --------------------- - --------------------- + -------------------------------------- - --------------------------- + ---------------------------
      8       \   8               8                       8                               2                                   8                             8             /             8                       8                               2                                   8                             8

$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}\right)$$

              /                   ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________\             ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________
              |                  /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ |            /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ 
              |          3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  |    3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  
      3/5     |   3/5   2   *  /   - - -----    2   *  /   - + -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - -----    2   *\/ 5 *  /   - + ----- |   2   *  /   - - -----    2   *  /   - + -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - -----    2   *\/ 5 *  /   - + ----- 
     2        |  2           \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   |        \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   
z5 = ---- + I*|- ---- - --------------------- + --------------------- + -------------------------------------- + --------------------------- + ---------------------------| - --------------------- + --------------------- - -------------------------------------- + --------------------------- + ---------------------------
      8       \   8               8                       8                               2                                   8                             8             /             8                       8                               2                                   8                             8

$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}\right)$$

Численный ответ [src]

z1 = 1.05857815270638 - 0.167662308256181*i

z2 = -0.757858283255199 + 0.757858283255199*i

z3 = 0.486574969864436 + 0.954957147571795*i

z4 = -0.954957147571795 - 0.486574969864436*i

z5 = 0.167662308256181 - 1.05857815270638*i

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

z^5=1-i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Искать численное решение на промежутке:

Решение