z^6-27=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^6-27=0

Вы ввели

 6         
z  - 27 = 0

$$z^{6} - 27 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{6} - 27 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{z^{6}} = \sqrt[6]{27}$$
$$\sqrt[6]{z^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{27}$$
или
$$z = \sqrt{3}$$
$$z = - \sqrt{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = sqrt3

Получим ответ: z = sqrt(3)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -sqrt3

Получим ответ: z = -sqrt(3)
или
$$z_{1} = - \sqrt{3}$$
$$z_{2} = \sqrt{3}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{6} = 27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 27$$
где
$$r = \sqrt{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt{3}$$
$$w_{2} = \sqrt{3}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt{3}$$
$$z_{2} = \sqrt{3}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$

Быстрый ответ

        ___
z1 = -\/ 3 

$$z_{1} = - \sqrt{3}$$

       ___
z2 = \/ 3 

$$z_{2} = \sqrt{3}$$

               ___
       3*I   \/ 3 
z3 = - --- - -----
        2      2  

$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$

         ___      
       \/ 3    3*I
z4 = - ----- + ---
         2      2 

$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$

       ___      
     \/ 3    3*I
z5 = ----- - ---
       2      2 

$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$

       ___      
     \/ 3    3*I
z6 = ----- + ---
       2      2 

$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                            ___       ___           ___           ___      
    ___     ___     3*I   \/ 3      \/ 3    3*I   \/ 3    3*I   \/ 3    3*I
- \/ 3  + \/ 3  + - --- - ----- + - ----- + --- + ----- - --- + ----- + ---
                     2      2         2      2      2      2      2      2 

$$\left(\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \sqrt{3} + \sqrt{3}\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

             /          ___\ /    ___      \ /  ___      \ /  ___      \
   ___   ___ |  3*I   \/ 3 | |  \/ 3    3*I| |\/ 3    3*I| |\/ 3    3*I|
-\/ 3 *\/ 3 *|- --- - -----|*|- ----- + ---|*|----- - ---|*|----- + ---|
             \   2      2  / \    2      2 / \  2      2 / \  2      2 /

$$- \sqrt{3} \sqrt{3} \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}\right)$$

=

-27

$$-27$$

Численный ответ

z1 = 1.73205080756888

z2 = -0.866025403784439 - 1.5*i

z3 = -0.866025403784439 + 1.5*i

z4 = 0.866025403784439 + 1.5*i

z5 = 0.866025403784439 - 1.5*i

z6 = -1.73205080756888