z^6-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^6-1=0

Вы ввели

 6        
z  - 1 = 0

$$z^{6} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{6} - 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 z + 0\right)^{6}} = 1$$
$$\sqrt[6]{\left(1 z + 0\right)^{6}} = -1$$
или
$$z = 1$$
$$z = -1$$
Получим ответ: z = 1
Получим ответ: z = -1
или
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{6} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
$$w_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = -1

$$z_{1} = -1$$

z2 = 1

$$z_{2} = 1$$

               ___
       1   I*\/ 3 
z3 = - - - -------
       2      2   

$$z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
z4 = - - + -------
       2      2   

$$z_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
z5 = - - -------
     2      2   

$$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
z6 = - + -------
     2      2   

$$z_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                      ___             ___           ___           ___
              1   I*\/ 3      1   I*\/ 3    1   I*\/ 3    1   I*\/ 3 
0 - 1 + 1 + - - - ------- + - - + ------- + - - ------- + - + -------
              2      2        2      2      2      2      2      2   

$$\left(\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(\left(-1 + 0\right) + 1\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /          ___\ /          ___\ /        ___\ /        ___\
       |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 |
1*-1*1*|- - - -------|*|- - + -------|*|- - -------|*|- + -------|
       \  2      2   / \  2      2   / \2      2   / \2      2   /

$$1 \left(-1\right) 1 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-1

$$-1$$

Численный ответ

z1 = -0.5 + 0.866025403784439*i

z2 = 1.0

z3 = -0.5 - 0.866025403784439*i

z4 = 0.5 - 0.866025403784439*i

z5 = 0.5 + 0.866025403784439*i

z6 = -1.0

График