z^6+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^6+1=0

Вы ввели

 6        
z  + 1 = 0

$$z^{6} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{6} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{6} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - i$$
$$w_{2} = i$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = -I

$$z_{1} = - i$$

z2 = I

$$z_{2} = i$$

             ___
       I   \/ 3 
z3 = - - - -----
       2     2  

$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$

           ___
     I   \/ 3 
z4 = - - -----
     2     2  

$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

       ___    
     \/ 3    I
z5 = ----- - -
       2     2

$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$

           ___
     I   \/ 3 
z6 = - + -----
     2     2  

$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    ___         ___     ___             ___
              I   \/ 3    I   \/ 3    \/ 3    I   I   \/ 3 
0 - I + I + - - - ----- + - - ----- + ----- - - + - + -----
              2     2     2     2       2     2   2     2  

$$\left(\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\left(0 - i\right) + i\right)\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

       /        ___\ /      ___\ /  ___    \ /      ___\
       |  I   \/ 3 | |I   \/ 3 | |\/ 3    I| |I   \/ 3 |
1*-I*I*|- - - -----|*|- - -----|*|----- - -|*|- + -----|
       \  2     2  / \2     2  / \  2     2/ \2     2  /

$$i 1 \left(- i\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

Численный ответ

z1 = -1.0*i

z2 = 1.0*i

z3 = 0.866025403784439 + 0.5*i

z4 = -0.866025403784439 - 0.5*i

z5 = -0.866025403784439 + 0.5*i

z6 = 0.866025403784439 - 0.5*i

График