z^6=i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^6=i

Вы ввели

 6    
z  = I

$$z^{6} = i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{6} = i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = i комплексное,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{6} = i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$w_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$w_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$w_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6} i}{4} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$

Быстрый ответ

         ___       ___
       \/ 2    I*\/ 2 
z1 = - ----- + -------
         2        2   

$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 2    I*\/ 2 
z2 = ----- - -------
       2        2   

$$z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

         ___     ___     /  ___     ___\
       \/ 2    \/ 6      |\/ 2    \/ 6 |
z3 = - ----- + ----- + I*|----- + -----|
         4       4       \  4       4  /

$$z_{3} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + i \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)$$

       ___     ___     /    ___     ___\
     \/ 2    \/ 6      |  \/ 2    \/ 6 |
z4 = ----- + ----- + I*|- ----- + -----|
       4       4       \    4       4  /

$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\right)$$

         ___     ___     /    ___     ___\
       \/ 2    \/ 6      |  \/ 6    \/ 2 |
z5 = - ----- - ----- + I*|- ----- + -----|
         4       4       \    4       4  /

$$z_{5} = - \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$

         ___     ___     /    ___     ___\
       \/ 6    \/ 2      |  \/ 2    \/ 6 |
z6 = - ----- + ----- + I*|- ----- - -----|
         4       4       \    4       4  /

$$z_{6} = - \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \left(- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$

Численный ответ

z1 = 0.965925826289068 + 0.258819045102521*i

z2 = 0.258819045102521 + 0.965925826289068*i

z3 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i

z4 = -0.965925826289068 - 0.258819045102521*i

z5 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i

z6 = -0.258819045102521 - 0.965925826289068*i