z^6=-3 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^6=-3

Вы ввели

 6     
z  = -3

$$z^{6} = -3$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{6} = -3$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -3 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{6} = -3$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -3$$
где
$$r = \sqrt[6]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt[6]{3} i$$
$$w_{2} = \sqrt[6]{3} i$$
$$w_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{3} i$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{3} i$$
$$z_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

        6 ___
z1 = -I*\/ 3 

$$z_{1} = - \sqrt[6]{3} i$$

       6 ___
z2 = I*\/ 3 

$$z_{2} = \sqrt[6]{3} i$$

        2/3     6 ___
       3      I*\/ 3 
z3 = - ---- - -------
        2        2   

$$z_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$

        2/3     6 ___
       3      I*\/ 3 
z4 = - ---- + -------
        2        2   

$$z_{4} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$

      2/3     6 ___
     3      I*\/ 3 
z5 = ---- - -------
      2        2   

$$z_{5} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$

      2/3     6 ___
     3      I*\/ 3 
z6 = ---- + -------
      2        2   

$$z_{6} = \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                         2/3     6 ___      2/3     6 ___    2/3     6 ___    2/3     6 ___
    6 ___     6 ___     3      I*\/ 3      3      I*\/ 3    3      I*\/ 3    3      I*\/ 3 
- I*\/ 3  + I*\/ 3  + - ---- - ------- + - ---- + ------- + ---- - ------- + ---- + -------
                         2        2         2        2       2        2       2        2   

$$\left(\left(\frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) + \left(- \sqrt[6]{3} i + \sqrt[6]{3} i\right)\right) + \left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                 /   2/3     6 ___\ /   2/3     6 ___\ / 2/3     6 ___\ / 2/3     6 ___\
   6 ___   6 ___ |  3      I*\/ 3 | |  3      I*\/ 3 | |3      I*\/ 3 | |3      I*\/ 3 |
-I*\/ 3 *I*\/ 3 *|- ---- - -------|*|- ---- + -------|*|---- - -------|*|---- + -------|
                 \   2        2   / \   2        2   / \ 2        2   / \ 2        2   /

$$- \sqrt[6]{3} i \sqrt[6]{3} i \left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) \left(\frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right) \left(\frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$

=

3

$$3$$

Численный ответ

z1 = 1.200936955176*i

z2 = -1.04004191152595 - 0.600468477588001*i

z3 = 1.04004191152595 + 0.600468477588001*i

z4 = 1.04004191152595 - 0.600468477588001*i

z5 = -1.200936955176*i

z6 = -1.04004191152595 + 0.600468477588001*i

График