z^6=-8 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^6=-8

Вы ввели

 6     
z  = -8

$$z^{6} = -8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{6} = -8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -8 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{6} = -8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -8$$
где
$$r = \sqrt{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt{2} i$$
$$w_{2} = \sqrt{2} i$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt{2} i$$
$$z_{2} = \sqrt{2} i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Быстрый ответ

          ___
z1 = -I*\/ 2 

$$z_{1} = - \sqrt{2} i$$

         ___
z2 = I*\/ 2 

$$z_{2} = \sqrt{2} i$$

         ___       ___
       \/ 6    I*\/ 2 
z3 = - ----- - -------
         2        2   

$$z_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

         ___       ___
       \/ 6    I*\/ 2 
z4 = - ----- + -------
         2        2   

$$z_{4} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 6    I*\/ 2 
z5 = ----- - -------
       2        2   

$$z_{5} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

       ___       ___
     \/ 6    I*\/ 2 
z6 = ----- + -------
       2        2   

$$z_{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                            ___       ___       ___       ___     ___       ___     ___       ___
        ___       ___     \/ 6    I*\/ 2      \/ 6    I*\/ 2    \/ 6    I*\/ 2    \/ 6    I*\/ 2 
0 - I*\/ 2  + I*\/ 2  + - ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
                            2        2          2        2        2        2        2        2   

$$\left(\left(\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\left(0 - \sqrt{2} i\right) + \sqrt{2} i\right)\right) - \left(\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

                   /    ___       ___\ /    ___       ___\ /  ___       ___\ /  ___       ___\
       ___     ___ |  \/ 6    I*\/ 2 | |  \/ 6    I*\/ 2 | |\/ 6    I*\/ 2 | |\/ 6    I*\/ 2 |
1*-I*\/ 2 *I*\/ 2 *|- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------|
                   \    2        2   / \    2        2   / \  2        2   / \  2        2   /

$$\sqrt{2} i 1 \left(- \sqrt{2} i\right) \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$

=

8

$$8$$

Численный ответ

z1 = 1.4142135623731*i

z2 = -1.22474487139159 + 0.707106781186548*i

z3 = 1.22474487139159 + 0.707106781186548*i

z4 = -1.22474487139159 - 0.707106781186548*i

z5 = 1.22474487139159 - 0.707106781186548*i

z6 = -1.4142135623731*i

График