z^3-12z-16=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3-12z-16=0

Вы ввели

 3                
z  - 12*z - 16 = 0

$$\left(z^{3} - 12 z\right) - 16 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(z^{3} - 12 z\right) - 16 = 0$$
преобразуем
$$\left(- 12 z + \left(z^{3} + 8\right)\right) - 24 = 0$$
или
$$\left(- 12 z + \left(z^{3} - \left(-2\right)^{3}\right)\right) - 24 = 0$$
$$- 12 \left(z + 2\right) + \left(z^{3} - \left(-2\right)^{3}\right) = 0$$
$$\left(z + 2\right) \left(\left(z^{2} - 2 z\right) + \left(-2\right)^{2}\right) - 12 \left(z + 2\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 2 + z за скобки
получим:
$$\left(z + 2\right) \left(\left(\left(z^{2} - 2 z\right) + \left(-2\right)^{2}\right) - 12\right) = 0$$
или
$$\left(z + 2\right) \left(z^{2} - 2 z - 8\right) = 0$$
тогда:
$$z_{1} = -2$$
и также
получаем ур-ние
$$z^{2} - 2 z - 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (-8) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

z2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{2} = 4$$
Упростить
$$z_{3} = -2$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для z^3 - 12*z - 16 = 0:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 4$$
$$z_{3} = -2$$

Быстрый ответ

z1 = -2

$$z_{1} = -2$$

z2 = 4

$$z_{2} = 4$$

Сумма и произведение корней

сумма

-2 + 4

$$-2 + 4$$

=

2

$$2$$

произведение

-2*4

$$- 8$$

=

-8

$$-8$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -12$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -16$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = -12$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -16$$

Численный ответ

z1 = -2.0

z2 = 4.0

График