z^3-27i=0 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: z^3-27i=0
Решение
Подробное решение
$$z^{3} - 27 i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{27 i}$$
или
$$z = 3 \sqrt[3]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
z = 3*i^1/3
Получим ответ: z = 3*i^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 27 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 27 i$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - 3 i$$
$$w_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - 3 i$$
$$z_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}$$
График
Быстрый ответ
[src]
z1 = -3*I
___
3*\/ 3 3*I
z2 = - ------- + ---
2 2 ___
3*I 3*\/ 3
z3 = --- + -------
2 2