z^3-8i=0 (уравнение)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: z^3-8i=0
Решение
Подробное решение
$$z^{3} - 8 i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{8 i}$$
или
$$z = 2 \sqrt[3]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
z = 2*i^1/3
Получим ответ: z = 2*i^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 8 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 8 i$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - 2 i$$
$$w_{2} = - \sqrt{3} + i$$
$$w_{3} = \sqrt{3} + i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - 2 i$$
$$z_{2} = - \sqrt{3} + i$$
$$z_{3} = \sqrt{3} + i$$
График
Быстрый ответ
[src]
z1 = -2*I
___ z2 = I - \/ 3
___ z3 = I + \/ 3
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ 0 - 2*I + I - \/ 3 + I + \/ 3
=
0
произведение
/ ___\ / ___\ 1*-2*I*\I - \/ 3 /*\I + \/ 3 /
=
8*I
Теорема Виета
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \left(-1\right) 8 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = \left(-1\right) 8 i$$