z^3-4=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3-4=0

Вы ввели

 3        
z  - 4 = 0

$$z^{3} - 4 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} - 4 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{4}$$
или
$$z = 2^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 2^2/3

Получим ответ: z = 2^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 4$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 4$$
где
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

      2/3
z1 = 2   

$$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$

        2/3      2/3   ___
       2      I*2   *\/ 3 
z2 = - ---- - ------------
        2          2      

$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$

        2/3      2/3   ___
       2      I*2   *\/ 3 
z3 = - ---- + ------------
        2          2      

$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$

Численный ответ

z1 = 1.5874010519682

z2 = -0.7937005259841 - 1.3747296369986*i

z3 = -0.7937005259841 + 1.3747296369986*i

График