z^3-10=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3-10=0

Вы ввели

 3         
z  - 10 = 0

$$z^{3} - 10 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} - 10 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{10}$$
или
$$z = \sqrt[3]{10}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 10^1/3

Получим ответ: z = 10^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 10$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 10$$
где
$$r = \sqrt[3]{10}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{10}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[3]{10}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

     3 ____
z1 = \/ 10 

$$z_{1} = \sqrt[3]{10}$$

       3 ____       ___ 3 ____
       \/ 10    I*\/ 3 *\/ 10 
z2 = - ------ - --------------
         2            2       

$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$

       3 ____       ___ 3 ____
       \/ 10    I*\/ 3 *\/ 10 
z3 = - ------ + --------------
         2            2       

$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

               3 ____       ___ 3 ____     3 ____       ___ 3 ____
    3 ____     \/ 10    I*\/ 3 *\/ 10      \/ 10    I*\/ 3 *\/ 10 
0 + \/ 10  + - ------ - -------------- + - ------ + --------------
                 2            2              2            2       

$$\left(\left(0 + \sqrt[3]{10}\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

         /  3 ____       ___ 3 ____\ /  3 ____       ___ 3 ____\
  3 ____ |  \/ 10    I*\/ 3 *\/ 10 | |  \/ 10    I*\/ 3 *\/ 10 |
1*\/ 10 *|- ------ - --------------|*|- ------ + --------------|
         \    2            2       / \    2            2       /

$$1 \cdot \sqrt[3]{10} \left(- \frac{\sqrt[3]{10}}{2} - \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{10}}{2} + \frac{\sqrt[3]{10} \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

10

$$10$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -10$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -10$$

Численный ответ

z1 = -1.07721734501594 + 1.86579517236206*i

z2 = 2.15443469003188

z3 = -1.07721734501594 - 1.86579517236206*i

График