z^3-9=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3-9=0

Вы ввели

 3        
z  - 9 = 0

$$z^{3} - 9 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} - 9 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{9}$$
или
$$z = 3^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 3^2/3

Получим ответ: z = 3^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 9$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 9$$
где
$$r = 3^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 3^{\frac{2}{3}}$$
$$w_{2} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 3^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

      2/3
z1 = 3   

$$z_{1} = 3^{\frac{2}{3}}$$

        2/3       6 ___
       3      3*I*\/ 3 
z2 = - ---- - ---------
        2         2    

$$z_{2} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$

        2/3       6 ___
       3      3*I*\/ 3 
z3 = - ---- + ---------
        2         2    

$$z_{3} = - \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          2/3       6 ___      2/3       6 ___
 2/3     3      3*I*\/ 3      3      3*I*\/ 3 
3    + - ---- - --------- + - ---- + ---------
          2         2          2         2    

$$\left(3^{\frac{2}{3}} + \left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

     /   2/3       6 ___\ /   2/3       6 ___\
 2/3 |  3      3*I*\/ 3 | |  3      3*I*\/ 3 |
3   *|- ---- - ---------|*|- ---- + ---------|
     \   2         2    / \   2         2    /

$$3^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$

=

9

$$9$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -9$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -9$$

Численный ответ

z1 = -1.04004191152595 - 1.801405432764*i

z2 = -1.04004191152595 + 1.801405432764*i

z3 = 2.0800838230519

График