z^3-27=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3-27=0

Вы ввели

 3         
z  - 27 = 0

$$z^{3} - 27 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} - 27 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{27}$$
или
$$z = 3$$
Получим ответ: z = 3

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 27$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 3$$
$$w_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = 3

$$z_{1} = 3$$

                 ___
       3   3*I*\/ 3 
z2 = - - - ---------
       2       2    

$$z_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

                 ___
       3   3*I*\/ 3 
z3 = - - + ---------
       2       2    

$$z_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                    ___               ___
          3   3*I*\/ 3      3   3*I*\/ 3 
0 + 3 + - - - --------- + - - + ---------
          2       2         2       2    

$$\left(\left(0 + 3\right) - \left(\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /            ___\ /            ___\
    |  3   3*I*\/ 3 | |  3   3*I*\/ 3 |
1*3*|- - - ---------|*|- - + ---------|
    \  2       2    / \  2       2    /

$$1 \cdot 3 \left(- \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

27

$$27$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -27$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -27$$

Численный ответ

z1 = 3.0

z2 = -1.5 - 2.59807621135332*i

z3 = -1.5 + 2.59807621135332*i

График