z^3-1+i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3-1+i=0

Вы ввели

 3            
z  - 1 + I = 0

$$\left(z^{3} - 1\right) + i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(z^{3} - 1\right) + i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{1 - i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{1 - i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 1+i^1/3

Получим ответ: z = (1 - i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 1 - i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 1 - i$$
где
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(1 - i\right)}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(1 - i\right)}{2}$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$

Быстрый ответ

        2/3      2/3
       2      I*2   
z1 = - ---- - ------
        2       2   

$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

      2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___
     2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
z2 = ---- + I*|---- - ----------| + ----------
      4       \ 4         4     /       4     

$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)$$

      2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___
     2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
z3 = ---- + I*|---- + ----------| - ----------
      4       \ 4         4     /       4     

$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)$$

Сумма и произведение корней

сумма

   2/3      2/3    2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___    2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___
  2      I*2      2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3    2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
- ---- - ------ + ---- + I*|---- - ----------| + ---------- + ---- + I*|---- + ----------| - ----------
   2       2       4       \ 4         4     /       4         4       \ 4         4     /       4     

$$\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right)$$

=

  / 2/3    2/3   ___\     / 2/3    2/3   ___\      2/3
  |2      2   *\/ 3 |     |2      2   *\/ 3 |   I*2   
I*|---- - ----------| + I*|---- + ----------| - ------
  \ 4         4     /     \ 4         4     /     2   

$$- \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right) + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)$$

произведение

/   2/3      2/3\ / 2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___\ / 2/3     / 2/3    2/3   ___\    2/3   ___\
|  2      I*2   | |2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 | |2        |2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 |
|- ---- - ------|*|---- + I*|---- - ----------| + ----------|*|---- + I*|---- + ----------| - ----------|
\   2       2   / \ 4       \ 4         4     /       4     / \ 4       \ 4         4     /       4     /

$$\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right)$$

=

1 - I

$$1 - i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -1 + i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -1 + i$$

Численный ответ

z1 = -0.290514555507251 + 1.08421508149135*i

z2 = 1.08421508149135 - 0.290514555507251*i

z3 = -0.7937005259841 - 0.7937005259841*i