z^3-1=i (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3-1=i

Вы ввели

 3        
z  - 1 = I

$$z^{3} - 1 = i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} - 1 = i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{1 + i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{1 + i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 1+i^1/3

Получим ответ: z = (1 + i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 1 + i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 1 + i$$
где
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \cdot \left(1 + i\right)}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \cdot \left(1 + i\right)}{2}$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$

Быстрый ответ

        2/3      2/3
       2      I*2   
z1 = - ---- + ------
        2       2   

$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

      2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___
     2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
z2 = ---- + I*|- ---- + ----------| + ----------
      4       \   4         4     /       4     

$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)$$

      2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___
     2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
z3 = ---- + I*|- ---- - ----------| - ----------
      4       \   4         4     /       4     

$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)$$

Сумма и произведение корней

сумма

       2/3      2/3    2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___    2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___
      2      I*2      2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3    2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
0 + - ---- + ------ + ---- + I*|- ---- + ----------| + ---------- + ---- + I*|- ---- - ----------| - ----------
       2       2       4       \   4         4     /       4         4       \   4         4     /       4     

$$\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right) - \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} - i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right)$$

=

  /   2/3    2/3   ___\     /   2/3    2/3   ___\      2/3
  |  2      2   *\/ 3 |     |  2      2   *\/ 3 |   I*2   
I*|- ---- - ----------| + I*|- ---- + ----------| + ------
  \   4         4     /     \   4         4     /     2   

$$i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right) + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right) + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

произведение

  /   2/3      2/3\ / 2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___\ / 2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___\
  |  2      I*2   | |2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 | |2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 |
1*|- ---- + ------|*|---- + I*|- ---- + ----------| + ----------|*|---- + I*|- ---- - ----------| - ----------|
  \   2       2   / \ 4       \   4         4     /       4     / \ 4       \   4         4     /       4     /

$$1 \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right)$$

=

1 + I

$$1 + i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -1 - i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -1 - i$$

Численный ответ

z1 = 1.08421508149135 + 0.290514555507251*i

z2 = -0.7937005259841 + 0.7937005259841*i

z3 = -0.290514555507251 - 1.08421508149135*i