z^3-√3+i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3-√3+i=0

Вы ввели

 3     ___        
z  - \/ 3  + I = 0

$$\left(z^{3} - \sqrt{3}\right) + i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(z^{3} - \sqrt{3}\right) + i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{3} - i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{\sqrt{3} - i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = sqrt+3 - i)^1/3

Получим ответ: z = (sqrt(3) - i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = \sqrt{3} - i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = \sqrt{3} - i$$
где
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{1}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{18}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$

Быстрый ответ

     3 ___    /pi\     3 ___    /pi\
z1 = \/ 2 *cos|--| - I*\/ 2 *sin|--|
              \18/              \18/

$$z_{1} = \sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$

       /3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\
       |\/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|
       |         \18/                  \18/|            \18/                  \18/
z2 = I*|------------- - -------------------| - ------------- - -------------------
       \      2                  2         /         2                  2         

$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)$$

       /3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\
       |\/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|
       |         \18/                  \18/|            \18/                  \18/
z3 = I*|------------- + -------------------| - ------------- + -------------------
       \      2                  2         /         2                  2         

$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(\frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                    /3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\     /3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\
                                    |\/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|     |\/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|
3 ___    /pi\     3 ___    /pi\     |         \18/                  \18/|            \18/                  \18/     |         \18/                  \18/|            \18/                  \18/
\/ 2 *cos|--| - I*\/ 2 *sin|--| + I*|------------- - -------------------| - ------------- - ------------------- + I*|------------- + -------------------| - ------------- + -------------------
         \18/              \18/     \      2                  2         /         2                  2              \      2                  2         /         2                  2         

$$\left(\left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right)\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(\frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)$$

=

  /3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\     /3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\                  
  |\/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||     |\/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||                  
  |         \18/                  \18/|     |         \18/                  \18/|     3 ___    /pi\
I*|------------- + -------------------| + I*|------------- - -------------------| - I*\/ 2 *sin|--|
  \      2                  2         /     \      2                  2         /              \18/

$$i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + i \left(\frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)$$

произведение

                                  /  /3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\ /  /3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\   3 ___    /pi\   3 ___   ___    /pi\\
                                  |  |\/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--|| |  |\/ 2 *sin|--|   \/ 2 *\/ 3 *cos|--||   \/ 2 *cos|--|   \/ 2 *\/ 3 *sin|--||
/3 ___    /pi\     3 ___    /pi\\ |  |         \18/                  \18/|            \18/                  \18/| |  |         \18/                  \18/|            \18/                  \18/|
|\/ 2 *cos|--| - I*\/ 2 *sin|--||*|I*|------------- - -------------------| - ------------- - -------------------|*|I*|------------- + -------------------| - ------------- + -------------------|
\         \18/              \18// \  \      2                  2         /         2                  2         / \  \      2                  2         /         2                  2         /

$$\left(\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - \sqrt[3]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(\frac{\sqrt[3]{2} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)$$

=

  ___    
\/ 3  - I

$$\sqrt{3} - i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \sqrt{3} + i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - \sqrt{3} + i$$

Численный ответ

z1 = 1.24078001811975 - 0.21878299431845*i

z2 = -0.430918378064072 + 1.18393851335905*i

z3 = -0.809861640055681 - 0.965155519040596*i