z^3-81=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3-81=0

Вы ввели

 3         
z  - 81 = 0

$$z^{3} - 81 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} - 81 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{81}$$
или
$$z = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 3*3^1/3

Получим ответ: z = 3*3^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 81$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 81$$
где
$$r = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$w_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$z_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Быстрый ответ

       3 ___
z1 = 3*\/ 3 

$$z_{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$

         3 ___        5/6
       3*\/ 3    3*I*3   
z2 = - ------- - --------
          2         2    

$$z_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

         3 ___        5/6
       3*\/ 3    3*I*3   
z3 = - ------- + --------
          2         2    

$$z_{3} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  3 ___        5/6       3 ___        5/6
      3 ___     3*\/ 3    3*I*3        3*\/ 3    3*I*3   
0 + 3*\/ 3  + - ------- - -------- + - ------- + --------
                   2         2            2         2    

$$\left(\left(0 + 3 \cdot \sqrt[3]{3}\right) - \left(\frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

          /    3 ___        5/6\ /    3 ___        5/6\
    3 ___ |  3*\/ 3    3*I*3   | |  3*\/ 3    3*I*3   |
1*3*\/ 3 *|- ------- - --------|*|- ------- + --------|
          \     2         2    / \     2         2    /

$$1 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{3} \left(- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) \left(- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$

=

81

$$81$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -81$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = -81$$

Численный ответ

z1 = 4.32674871092223

z2 = -2.16337435546111 - 3.74707429945022*i

z3 = -2.16337435546111 + 3.74707429945022*i

График