z^3+27i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3+27i=0

Вы ввели

 3           
z  + 27*I = 0

$$z^{3} + 27 i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} + 27 i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{- 27 i}$$
или
$$z = 3 \sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -3*i^1/3

Получим ответ: z = 3*(-i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = - 27 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - 27 i$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 3 i$$
$$w_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 3 i$$
$$z_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = 3*I

$$z_{1} = 3 i$$

                 ___
       3*I   3*\/ 3 
z2 = - --- - -------
        2       2   

$$z_{2} = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$

                 ___
       3*I   3*\/ 3 
z3 = - --- + -------
        2       2   

$$z_{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                      ___               ___
            3*I   3*\/ 3      3*I   3*\/ 3 
0 + 3*I + - --- - ------- + - --- + -------
             2       2         2       2   

$$\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) + \left(\left(- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) + \left(0 + 3 i\right)\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

      /            ___\ /            ___\
      |  3*I   3*\/ 3 | |  3*I   3*\/ 3 |
1*3*I*|- --- - -------|*|- --- + -------|
      \   2       2   / \   2       2   /

$$1 \cdot 3 i \left(- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right)$$

=

-27*I

$$- 27 i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 27 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 27 i$$

Численный ответ

z1 = 3.0*i

z2 = -2.59807621135332 - 1.5*i

z3 = 2.59807621135332 - 1.5*i