z^3+8i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3+8i=0

Вы ввели

 3          
z  + 8*I = 0

$$z^{3} + 8 i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} + 8 i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- 8 i}$$
или
$$z = 2 \sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -2*i^1/3

Получим ответ: z = 2*(-i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = - 8 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = - 8 i$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = - i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = -1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 2 i$$
$$w_{2} = - \sqrt{3} - i$$
$$w_{3} = \sqrt{3} - i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 2 i$$
$$z_{2} = - \sqrt{3} - i$$
$$z_{3} = \sqrt{3} - i$$

Быстрый ответ

z1 = 2*I

$$z_{1} = 2 i$$

            ___
z2 = -I - \/ 3 

$$z_{2} = - \sqrt{3} - i$$

       ___    
z3 = \/ 3  - I

$$z_{3} = \sqrt{3} - i$$

Численный ответ

z1 = 1.73205080756888 - 1.0*i

z2 = 2.0*i

z3 = -1.73205080756888 - 1.0*i