z^3+1-i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3+1-i=0

Вы ввели

 3            
z  + 1 - I = 0

$$\left(z^{3} + 1\right) - i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(z^{3} + 1\right) - i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-1 + i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{-1 + i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -1+i^1/3

Получим ответ: z = (-1 + i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = -1 + i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -1 + i$$
где
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$

Быстрый ответ

      2/3      2/3
     2      I*2   
z1 = ---- + ------
      2       2   

$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

        2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___
       2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
z2 = - ---- + I*|- ---- - ----------| + ----------
        4       \   4         4     /       4     

$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)$$

        2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___
       2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
z3 = - ---- + I*|- ---- + ----------| - ----------
        4       \   4         4     /       4     

$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)$$

Сумма и произведение корней

сумма

 2/3      2/3      2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___      2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___
2      I*2        2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3      2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 
---- + ------ + - ---- + I*|- ---- - ----------| + ---------- + - ---- + I*|- ---- + ----------| - ----------
 2       2         4       \   4         4     /       4           4       \   4         4     /       4     

$$\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right)$$

=

  /   2/3    2/3   ___\     /   2/3    2/3   ___\      2/3
  |  2      2   *\/ 3 |     |  2      2   *\/ 3 |   I*2   
I*|- ---- - ----------| + I*|- ---- + ----------| + ------
  \   4         4     /     \   4         4     /     2   

$$i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right) + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right) + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$

произведение

/ 2/3      2/3\ /   2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___\ /   2/3     /   2/3    2/3   ___\    2/3   ___\
|2      I*2   | |  2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 | |  2        |  2      2   *\/ 3 |   2   *\/ 3 |
|---- + ------|*|- ---- + I*|- ---- - ----------| + ----------|*|- ---- + I*|- ---- + ----------| - ----------|
\ 2       2   / \   4       \   4         4     /       4     / \   4       \   4         4     /       4     /

$$\left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right)$$

=

-1 + I

$$-1 + i$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 1 - i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 1 - i$$

Численный ответ

z1 = -1.08421508149135 + 0.290514555507251*i

z2 = 0.7937005259841 + 0.7937005259841*i

z3 = 0.290514555507251 - 1.08421508149135*i