z^3+8=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3+8=0

Вы ввели

 3        
z  + 8 = 0

$$z^{3} + 8 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} + 8 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-8}$$
или
$$z = 2 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -2*1^1/3

Получим ответ: z = 2*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = -8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -8$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -2$$
$$w_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$w_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

z1 = -2

$$z_{1} = -2$$

             ___
z2 = 1 - I*\/ 3 

$$z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$

             ___
z3 = 1 + I*\/ 3 

$$z_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

             ___           ___
-2 + 1 - I*\/ 3  + 1 + I*\/ 3 

$$\left(-2 + \left(1 - \sqrt{3} i\right)\right) + \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

   /        ___\ /        ___\
-2*\1 - I*\/ 3 /*\1 + I*\/ 3 /

$$- 2 \left(1 - \sqrt{3} i\right) \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$

=

-8

$$-8$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 8$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 8$$

Численный ответ

z1 = -2.0

z2 = 1.0 - 1.73205080756888*i

z3 = 1.0 + 1.73205080756888*i

График