z^3+z=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3+z=0

Вы ввели

 3        
z  + z = 0

$$z^{3} + z = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$z^{3} + z = 0$$
преобразуем
Вынесем общий множитель z за скобки
получим:
$$z \left(z^{2} + 1\right) = 0$$
тогда:
$$z_{1} = 0$$
и также
получаем ур-ние
$$z^{2} + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1) = -4

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

z2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{2} = i$$
Упростить
$$z_{3} = - i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для z^3 + z = 0:
$$z_{1} = 0$$
$$z_{2} = i$$
$$z_{3} = - i$$

Быстрый ответ

z1 = 0

$$z_{1} = 0$$

z2 = -I

$$z_{2} = - i$$

z3 = I

$$z_{3} = i$$

Сумма и произведение корней

сумма

-I + I

$$- i + i$$

=

0

$$0$$

произведение

0*(-I)*I

$$i 0 \left(- i\right)$$

=

0

$$0$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 0$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 1$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 0$$

Численный ответ

z1 = 1.0*i

z2 = -1.0*i

z3 = 0.0

График