z^3=2√3+2i (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: z^3=2√3+2i
Решение
Подробное решение
Дано уравнениеz 3 = 2 3 + 2 i z^{3} = 2 \sqrt{3} + 2 i z 3 = 2 3 + 2 i Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то ур-ние будет иметь один действительный корень. Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния: Получим:z 3 3 = 2 3 + 2 i 3 \sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{2 \sqrt{3} + 2 i} 3 z 3 = 3 2 3 + 2 i илиz = 2 3 + 2 i 3 z = \sqrt[3]{2 \sqrt{3} + 2 i} z = 3 2 3 + 2 i Раскрываем скобочки в правой части ур-нияz = 2*i+2*sqrt+3)^1/3 Получим ответ: z = (2*i + 2*sqrt(3))^(1/3) Остальные 3 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену:w = z w = z w = z тогда ур-ние будет таким:w 3 = 2 3 + 2 i w^{3} = 2 \sqrt{3} + 2 i w 3 = 2 3 + 2 i Любое комплексное число можно представить так:w = r e i p w = r e^{i p} w = r e i p подставляем в уравнениеr 3 e 3 i p = 2 3 + 2 i r^{3} e^{3 i p} = 2 \sqrt{3} + 2 i r 3 e 3 i p = 2 3 + 2 i гдеr = 2 2 3 r = 2^{\frac{2}{3}} r = 2 3 2 - модуль комплексного числа Подставляем r:e 3 i p = 3 2 + i 2 e^{3 i p} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} e 3 i p = 2 3 + 2 i Используя формулу Эйлера, найдём корни для pi sin ( 3 p ) + cos ( 3 p ) = 3 2 + i 2 i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} i sin ( 3 p ) + cos ( 3 p ) = 2 3 + 2 i значитcos ( 3 p ) = 3 2 \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2} cos ( 3 p ) = 2 3 иsin ( 3 p ) = 1 2 \sin{\left(3 p \right)} = \frac{1}{2} sin ( 3 p ) = 2 1 тогдаp = 2 π N 3 + π 18 p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{18} p = 3 2 π N + 18 π где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для w Значит, решением будет для w:w 1 = 2 2 3 cos ( π 18 ) + 2 2 3 i sin ( π 18 ) w_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} w 1 = 2 3 2 cos ( 18 π ) + 2 3 2 i sin ( 18 π ) w 2 = − 2 2 3 cos ( π 18 ) 2 − 2 2 3 3 sin ( π 18 ) 2 − 2 2 3 i sin ( π 18 ) 2 + 2 2 3 3 i cos ( π 18 ) 2 w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} w 2 = − 2 2 3 2 cos ( 18 π ) − 2 2 3 2 3 sin ( 18 π ) − 2 2 3 2 i sin ( 18 π ) + 2 2 3 2 3 i cos ( 18 π ) w 3 = − 2 2 3 cos ( π 18 ) 2 + 2 2 3 3 sin ( π 18 ) 2 − 2 2 3 3 i cos ( π 18 ) 2 − 2 2 3 i sin ( π 18 ) 2 w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} w 3 = − 2 2 3 2 cos ( 18 π ) + 2 2 3 2 3 sin ( 18 π ) − 2 2 3 2 3 i cos ( 18 π ) − 2 2 3 2 i sin ( 18 π ) делаем обратную заменуw = z w = z w = z z = w z = w z = w Тогда, окончательный ответ:z 1 = 2 2 3 cos ( π 18 ) + 2 2 3 i sin ( π 18 ) z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} z 1 = 2 3 2 cos ( 18 π ) + 2 3 2 i sin ( 18 π ) z 2 = − 2 2 3 cos ( π 18 ) 2 − 2 2 3 3 sin ( π 18 ) 2 − 2 2 3 i sin ( π 18 ) 2 + 2 2 3 3 i cos ( π 18 ) 2 z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} z 2 = − 2 2 3 2 cos ( 18 π ) − 2 2 3 2 3 sin ( 18 π ) − 2 2 3 2 i sin ( 18 π ) + 2 2 3 2 3 i cos ( 18 π ) z 3 = − 2 2 3 cos ( π 18 ) 2 + 2 2 3 3 sin ( π 18 ) 2 − 2 2 3 3 i cos ( π 18 ) 2 − 2 2 3 i sin ( π 18 ) 2 z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} z 3 = − 2 2 3 2 cos ( 18 π ) + 2 2 3 2 3 sin ( 18 π ) − 2 2 3 2 3 i cos ( 18 π ) − 2 2 3 2 i sin ( 18 π ) 2/3 /pi\ 2/3 /pi\
z1 = 2 *cos|--| + I*2 *sin|--|
\18/ \18/ z 1 = 2 2 3 cos ( π 18 ) + 2 2 3 i sin ( π 18 ) z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} z 1 = 2 3 2 cos ( 18 π ) + 2 3 2 i sin ( 18 π ) / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\
| 2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--|
| \18/ \18/| \18/ \18/
z2 = I*|- ------------ + ------------------| - ------------ - ------------------
\ 2 2 / 2 2 z 2 = − 2 2 3 cos ( π 18 ) 2 − 2 2 3 3 sin ( π 18 ) 2 + i ( − 2 2 3 sin ( π 18 ) 2 + 2 2 3 3 cos ( π 18 ) 2 ) z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) z 2 = − 2 2 3 2 cos ( 18 π ) − 2 2 3 2 3 sin ( 18 π ) + i ( − 2 2 3 2 sin ( 18 π ) + 2 2 3 2 3 cos ( 18 π ) ) / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\
| 2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--|
| \18/ \18/| \18/ \18/
z3 = I*|- ------------ - ------------------| - ------------ + ------------------
\ 2 2 / 2 2 z 3 = − 2 2 3 cos ( π 18 ) 2 + 2 2 3 3 sin ( π 18 ) 2 + i ( − 2 2 3 3 cos ( π 18 ) 2 − 2 2 3 sin ( π 18 ) 2 ) z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) z 3 = − 2 2 3 2 cos ( 18 π ) + 2 2 3 2 3 sin ( 18 π ) + i ( − 2 2 3 2 3 cos ( 18 π ) − 2 2 3 2 sin ( 18 π ) )
Сумма и произведение корней
[src] / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\ / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\
| 2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--| | 2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--|
2/3 /pi\ 2/3 /pi\ | \18/ \18/| \18/ \18/ | \18/ \18/| \18/ \18/
2 *cos|--| + I*2 *sin|--| + I*|- ------------ + ------------------| - ------------ - ------------------ + I*|- ------------ - ------------------| - ------------ + ------------------
\18/ \18/ \ 2 2 / 2 2 \ 2 2 / 2 2 ( − 2 2 3 cos ( π 18 ) 2 + 2 2 3 3 sin ( π 18 ) 2 + i ( − 2 2 3 3 cos ( π 18 ) 2 − 2 2 3 sin ( π 18 ) 2 ) ) + ( ( 2 2 3 cos ( π 18 ) + 2 2 3 i sin ( π 18 ) ) + ( − 2 2 3 cos ( π 18 ) 2 − 2 2 3 3 sin ( π 18 ) 2 + i ( − 2 2 3 sin ( π 18 ) 2 + 2 2 3 3 cos ( π 18 ) 2 ) ) ) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(\left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)\right) ( − 2 2 3 2 cos ( 18 π ) + 2 2 3 2 3 sin ( 18 π ) + i ( − 2 2 3 2 3 cos ( 18 π ) − 2 2 3 2 sin ( 18 π ) ) ) + ( ( 2 3 2 cos ( 18 π ) + 2 3 2 i sin ( 18 π ) ) + ( − 2 2 3 2 cos ( 18 π ) − 2 2 3 2 3 sin ( 18 π ) + i ( − 2 2 3 2 sin ( 18 π ) + 2 2 3 2 3 cos ( 18 π ) ) ) ) / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\
| 2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| | 2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--||
| \18/ \18/| | \18/ \18/| 2/3 /pi\
I*|- ------------ + ------------------| + I*|- ------------ - ------------------| + I*2 *sin|--|
\ 2 2 / \ 2 2 / \18/ i ( − 2 2 3 3 cos ( π 18 ) 2 − 2 2 3 sin ( π 18 ) 2 ) + 2 2 3 i sin ( π 18 ) + i ( − 2 2 3 sin ( π 18 ) 2 + 2 2 3 3 cos ( π 18 ) 2 ) i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) i ( − 2 2 3 2 3 cos ( 18 π ) − 2 2 3 2 sin ( 18 π ) ) + 2 3 2 i sin ( 18 π ) + i ( − 2 2 3 2 sin ( 18 π ) + 2 2 3 2 3 cos ( 18 π ) ) / / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ / / 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\ 2/3 /pi\ 2/3 ___ /pi\\
| | 2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--|| | | 2 *sin|--| 2 *\/ 3 *cos|--|| 2 *cos|--| 2 *\/ 3 *sin|--||
/ 2/3 /pi\ 2/3 /pi\\ | | \18/ \18/| \18/ \18/| | | \18/ \18/| \18/ \18/|
|2 *cos|--| + I*2 *sin|--||*|I*|- ------------ + ------------------| - ------------ - ------------------|*|I*|- ------------ - ------------------| - ------------ + ------------------|
\ \18/ \18// \ \ 2 2 / 2 2 / \ \ 2 2 / 2 2 / ( 2 2 3 cos ( π 18 ) + 2 2 3 i sin ( π 18 ) ) ( − 2 2 3 cos ( π 18 ) 2 − 2 2 3 3 sin ( π 18 ) 2 + i ( − 2 2 3 sin ( π 18 ) 2 + 2 2 3 3 cos ( π 18 ) 2 ) ) ( − 2 2 3 cos ( π 18 ) 2 + 2 2 3 3 sin ( π 18 ) 2 + i ( − 2 2 3 3 cos ( π 18 ) 2 − 2 2 3 sin ( π 18 ) 2 ) ) \left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) ( 2 3 2 cos ( 18 π ) + 2 3 2 i sin ( 18 π ) ) ( − 2 2 3 2 cos ( 18 π ) − 2 2 3 2 3 sin ( 18 π ) + i ( − 2 2 3 2 sin ( 18 π ) + 2 2 3 2 3 cos ( 18 π ) ) ) ( − 2 2 3 2 cos ( 18 π ) + 2 2 3 2 3 sin ( 18 π ) + i ( − 2 2 3 2 3 cos ( 18 π ) − 2 2 3 2 sin ( 18 π ) ) ) 2 3 + 2 i 2 \sqrt{3} + 2 i 2 3 + 2 i
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнениеp z 2 + q z + v + z 3 = 0 p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0 p z 2 + q z + v + z 3 = 0 гдеp = b a p = \frac{b}{a} p = a b p = 0 p = 0 p = 0 q = c a q = \frac{c}{a} q = a c q = 0 q = 0 q = 0 v = d a v = \frac{d}{a} v = a d v = − 2 3 − 2 i v = - 2 \sqrt{3} - 2 i v = − 2 3 − 2 i Формулы Виетаz 1 + z 2 + z 3 = − p z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p z 1 + z 2 + z 3 = − p z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = q z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = q z 1 z 2 z 3 = v z_{1} z_{2} z_{3} = v z 1 z 2 z 3 = v z 1 + z 2 + z 3 = 0 z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0 z 1 + z 2 + z 3 = 0 z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = 0 z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0 z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = 0 z 1 z 2 z 3 = − 2 3 − 2 i z_{1} z_{2} z_{3} = - 2 \sqrt{3} - 2 i z 1 z 2 z 3 = − 2 3 − 2 i z1 = 1.56328486311802 + 0.275649299900846*i z2 = -0.542923135309481 - 1.49166905476231*i z3 = -1.02036172780854 + 1.21601975486146*i