Решите уравнение z^3=2√3+2i (z в кубе равно 2√3 плюс 2i) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ответ!]
Решение уравнений/ Любые/ z^3=2√3+2i

z^3=2√3+2i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^3=2√3+2i

    Решение

    Вы ввели [src]
     3       ___      
z  = 2*\/ 3  + 2*I
    $$z^{3} = 2 \sqrt{3} + 2 i$$
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$z^{3} = 2 \sqrt{3} + 2 i$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{2 \sqrt{3} + 2 i}$$
    или
    $$z = \sqrt[3]{2 \sqrt{3} + 2 i}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    z = 2*i+2*sqrt+3)^1/3

    Получим ответ: z = (2*i + 2*sqrt(3))^(1/3)

    Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$w = z$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$w^{3} = 2 \sqrt{3} + 2 i$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$w = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = 2 \sqrt{3} + 2 i$$
    где
    $$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
    значит
    $$\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
    и
    $$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{1}{2}$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{18}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    $$w_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
    $$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
    $$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$w = z$$
    $$z = w$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
    $$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
    $$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}$$
    График
    Быстрый ответ [src]
          2/3    /pi\      2/3    /pi\
z1 = 2   *cos|--| + I*2   *sin|--|
             \18/             \18/
    $$z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
           /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\
       |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|
       |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/
z2 = I*|- ------------ + ------------------| - ------------ - ------------------
       \       2                 2         /        2                 2
    $$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)$$
           /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\
       |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|
       |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/
z3 = I*|- ------------ - ------------------| - ------------ + ------------------
       \       2                 2         /        2                 2
    $$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                                      /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\     /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\
                                  |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|     |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|
 2/3    /pi\      2/3    /pi\     |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/     |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/
2   *cos|--| + I*2   *sin|--| + I*|- ------------ + ------------------| - ------------ - ------------------ + I*|- ------------ - ------------------| - ------------ + ------------------
        \18/             \18/     \       2                 2         /        2                 2              \       2                 2         /        2                 2
    $$\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(\left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)\right)$$
    =
      /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\     /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\                 
  |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||     |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||                 
  |          \18/                 \18/|     |          \18/                 \18/|      2/3    /pi\
I*|- ------------ + ------------------| + I*|- ------------ - ------------------| + I*2   *sin|--|
  \       2                 2         /     \       2                 2         /             \18/
    $$i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)$$
    произведение
                                    /  /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\ /  /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\
                                |  |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|| |  |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--||
/ 2/3    /pi\      2/3    /pi\\ |  |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/| |  |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/|
|2   *cos|--| + I*2   *sin|--||*|I*|- ------------ + ------------------| - ------------ - ------------------|*|I*|- ------------ - ------------------| - ------------ + ------------------|
\        \18/             \18// \  \       2                 2         /        2                 2         / \  \       2                 2         /        2                 2         /
    $$\left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)$$
    =
              ___
2*I + 2*\/ 3
    $$2 \sqrt{3} + 2 i$$
    Теорема Виета
    это приведённое кубическое уравнение
    $$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
    где
    $$p = \frac{b}{a}$$
    $$p = 0$$
    $$q = \frac{c}{a}$$
    $$q = 0$$
    $$v = \frac{d}{a}$$
    $$v = - 2 \sqrt{3} - 2 i$$
    Формулы Виета
    $$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
    $$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
    $$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
    $$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
    $$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
    $$z_{1} z_{2} z_{3} = - 2 \sqrt{3} - 2 i$$
    Численный ответ [src]
    z1 = 1.56328486311802 + 0.275649299900846*i
    z2 = -0.542923135309481 - 1.49166905476231*i
    z3 = -1.02036172780854 + 1.21601975486146*i