Решение уравнений/ Любые/ z^3=2√3+2i

z^3=2√3+2i (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^3=2√3+2i

    Решение

    Вы ввели [src]
     3       ___      
z  = 2*\/ 3  + 2*I
    z3=23+2iz^{3} = 2 \sqrt{3} + 2 i
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение
    z3=23+2iz^{3} = 2 \sqrt{3} + 2 i
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    z33=23+2i3\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{2 \sqrt{3} + 2 i}
    или
    z=23+2i3z = \sqrt[3]{2 \sqrt{3} + 2 i}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    z = 2*i+2*sqrt+3)^1/3

    Получим ответ: z = (2*i + 2*sqrt(3))^(1/3)

    Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    w=zw = z
    тогда ур-ние будет таким:
    w3=23+2iw^{3} = 2 \sqrt{3} + 2 i
    Любое комплексное число можно представить так:
    w=reipw = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=23+2ir^{3} e^{3 i p} = 2 \sqrt{3} + 2 i
    где
    r=223r = 2^{\frac{2}{3}}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=32+i2e^{3 i p} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=32+i2i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}
    значит
    cos⁡(3p)=32\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
    и
    sin⁡(3p)=12\sin{\left(3 p \right)} = \frac{1}{2}
    тогда
    p=2πN3+π18p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{18}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    w1=223cos⁡(π18)+223isin⁡(π18)w_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}
    w2=−223cos⁡(π18)2−2233sin⁡(π18)2−223isin⁡(π18)2+2233icos⁡(π18)2w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}
    w3=−223cos⁡(π18)2+2233sin⁡(π18)2−2233icos⁡(π18)2−223isin⁡(π18)2w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}
    делаем обратную замену
    w=zw = z
    z=wz = w

    Тогда, окончательный ответ:
    z1=223cos⁡(π18)+223isin⁡(π18)z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}
    z2=−223cos⁡(π18)2−2233sin⁡(π18)2−223isin⁡(π18)2+2233icos⁡(π18)2z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}
    z3=−223cos⁡(π18)2+2233sin⁡(π18)2−2233icos⁡(π18)2−223isin⁡(π18)2z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}
    График
    Быстрый ответ [src]
          2/3    /pi\      2/3    /pi\
z1 = 2   *cos|--| + I*2   *sin|--|
             \18/             \18/
    z1=223cos⁡(π18)+223isin⁡(π18)z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}
           /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\
       |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|
       |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/
z2 = I*|- ------------ + ------------------| - ------------ - ------------------
       \       2                 2         /        2                 2
    z2=−223cos⁡(π18)2−2233sin⁡(π18)2+i(−223sin⁡(π18)2+2233cos⁡(π18)2)z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)
           /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\
       |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|
       |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/
z3 = I*|- ------------ - ------------------| - ------------ + ------------------
       \       2                 2         /        2                 2
    z3=−223cos⁡(π18)2+2233sin⁡(π18)2+i(−2233cos⁡(π18)2−223sin⁡(π18)2)z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                                      /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\     /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\
                                  |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|     |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|
 2/3    /pi\      2/3    /pi\     |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/     |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/
2   *cos|--| + I*2   *sin|--| + I*|- ------------ + ------------------| - ------------ - ------------------ + I*|- ------------ - ------------------| - ------------ + ------------------
        \18/             \18/     \       2                 2         /        2                 2              \       2                 2         /        2                 2
    (−223cos⁡(π18)2+2233sin⁡(π18)2+i(−2233cos⁡(π18)2−223sin⁡(π18)2))+((223cos⁡(π18)+223isin⁡(π18))+(−223cos⁡(π18)2−2233sin⁡(π18)2+i(−223sin⁡(π18)2+2233cos⁡(π18)2)))\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) + \left(\left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)\right)
    =
      /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\     /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\                 
  |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||     |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||                 
  |          \18/                 \18/|     |          \18/                 \18/|      2/3    /pi\
I*|- ------------ + ------------------| + I*|- ------------ - ------------------| + I*2   *sin|--|
  \       2                 2         /     \       2                 2         /             \18/
    i(−2233cos⁡(π18)2−223sin⁡(π18)2)+223isin⁡(π18)+i(−223sin⁡(π18)2+2233cos⁡(π18)2)i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right) + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)
    произведение
                                    /  /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\ /  /   2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\    2/3    /pi\    2/3   ___    /pi\\
                                |  |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--|| |  |  2   *sin|--|   2   *\/ 3 *cos|--||   2   *cos|--|   2   *\/ 3 *sin|--||
/ 2/3    /pi\      2/3    /pi\\ |  |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/| |  |          \18/                 \18/|           \18/                 \18/|
|2   *cos|--| + I*2   *sin|--||*|I*|- ------------ + ------------------| - ------------ - ------------------|*|I*|- ------------ - ------------------| - ------------ + ------------------|
\        \18/             \18// \  \       2                 2         /        2                 2         / \  \       2                 2         /        2                 2         /
    (223cos⁡(π18)+223isin⁡(π18))(−223cos⁡(π18)2−2233sin⁡(π18)2+i(−223sin⁡(π18)2+2233cos⁡(π18)2))(−223cos⁡(π18)2+2233sin⁡(π18)2+i(−2233cos⁡(π18)2−223sin⁡(π18)2))\left(2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2^{\frac{2}{3}} i \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)}}{2}\right)\right)
    =
              ___
2*I + 2*\/ 3
    23+2i2 \sqrt{3} + 2 i
    Теорема Виета
    это приведённое кубическое уравнение
    pz2+qz+v+z3=0p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0
    где
    p=bap = \frac{b}{a}
    p=0p = 0
    q=caq = \frac{c}{a}
    q=0q = 0
    v=dav = \frac{d}{a}
    v=−23−2iv = - 2 \sqrt{3} - 2 i
    Формулы Виета
    z1+z2+z3=−pz_{1} + z_{2} + z_{3} = - p
    z1z2+z1z3+z2z3=qz_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q
    z1z2z3=vz_{1} z_{2} z_{3} = v
    z1+z2+z3=0z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0
    z1z2+z1z3+z2z3=0z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0
    z1z2z3=−23−2iz_{1} z_{2} z_{3} = - 2 \sqrt{3} - 2 i
    Численный ответ [src]
    z1 = 1.56328486311802 + 0.275649299900846*i
    z2 = -0.542923135309481 - 1.49166905476231*i
    z3 = -1.02036172780854 + 1.21601975486146*i